Se g s , t = f ( s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ) e f é diferenciável, calcule ∂ g ∂ s e ∂ g ∂ t .

Passo 1

Faaaaala gente bonita, tudo tranquilinho por aí?

Nessa questão o enunciado nos falou sobre duas funções, g e f , dizendo que:

g s , t = f ( s 2 - t 2 , t 2 - s 2 )

Isso significa que g é uma função de s e t , enquanto f é função de s 2 - t 2 e de t 2 - s 2 .

Além disso elas são iguais. Ou seja, podemos representar uma mesma função como dependente dos parâmetros s e t , ou em função de ( s 2 - t 2 ) e ( t 2 - s 2 ) .

Também foi falado que f é diferenciável.

O nosso objetivo é calcular ∂ g ∂ s e ∂ g ∂ t .

Beleza até aqui?

Como g = f , e f é diferenciável, vale que:

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ s ∂ g ∂ t = ∂ f ∂ t

Massa! Mas f é função de ( s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ) , como podemos fazer, por exemplo:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ s

É algum tipo de regra da cadeia?

Simmmmm, é como uma regra da cadeia. Quando temos uma função dependente de duas variáveis e queremos derivá-la em relação a uma terceira variável, fazemos:

∂ f a , b ∂ u = ∂ f a , b ∂ a ⋅ ∂ a ∂ u + ∂ f a , b ∂ b ⋅ ∂ b ∂ u

Sacou a ideia? Então, no nosso caso teremos que fazer:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ s = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ s + ∂ f ∂ t 2 - s 2 ⋅ ∂ t 2 - s 2 ∂ s

E, para a derivada parcial em relação a t :

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ t = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ t + ∂ f ∂ t 2 - s 2 ⋅ ∂ t 2 - s 2 ∂ t

Show de bola! Então vamos lá, mãos à obra.

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a s , vimos que:

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ s

Que por sua vez: ∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ s = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ s + ∂ f ∂ t 2 - s 2 ⋅ ∂ t 2 - s 2 ∂ s

Vamos calcular cada um desses termos:

∂ s 2 - t 2 ∂ s

t é como uma constante para s , assim:

∂ s 2 - t 2 ∂ s = 2 s

Vamos pro próximo:

∂ t 2 - s 2 ∂ s

Novamente t é como uma constante, logo:

∂ t 2 - s 2 ∂ s =   - 2 s

Show!

Com as informações que temos, não conseguimos calcular nem ∂ f ∂ s 2 - t 2 nem ∂ f ∂ t 2 - s 2 . Mas, se a gente olhar direitinho, esses termos possuem algo em comum:

s 2 - t 2 =   - t 2 - s 2

Pra deixar tudo em função de ∂ f ∂ s 2 - t 2 , podemos usar um raciocínio de regra da cadeia e escrever que:

∂ f ∂ t 2 - s 2 = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ t 2 - s 2

Daí:

∂ s 2 - t 2 ∂ t 2 - s 2 =   ∂ - t 2 - s 2 ∂ t 2 - s 2

=   - 1

Ou seja:

∂ f ∂ t 2 - s 2 =   - ∂ f ∂ s 2 - t 2

(Pronto, agora essa relação ficou beem justificada 😊)

Como já calculamos todos esses termos, podemos voltar a expressão principal:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ s = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ s + ∂ f ∂ t 2 - s 2 ⋅ ∂ t 2 - s 2 ∂ s

Substituindo as relações:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ s = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ 2 s - - 2 s

= 4 s ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2  

Ou seja:

∂ g ∂ s =   4 s ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2

Muito bomm! A primeira já foi 😊

Passo 3

Aqui vamos calcular ∂ g / ∂ t . Vimos que:

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ t

Que por sua vez:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ t = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ⋅ ∂ s 2 - t 2 ∂ t + ∂ f ∂ t 2 - s 2 ⋅ ∂ t 2 - s 2 ∂ t

Então, assim como fizemos no passo 2 , vamos calcular cada um desses termos. Mas, podemos usar também o resultado que obtivemos lá:

∂ f ∂ t 2 - s 2 =   - ∂ f ∂ s 2 - t 2

Que, substituindo na expressão principal fica:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ t = ∂ f ∂ s 2 - t 2 ∂ s 2 - t 2 ∂ t - ∂ t 2 - s 2 ∂ t

Massa!

Calculando:

∂ s 2 - t 2 ∂ t

Agora s é como uma constante, assim:

∂ s 2 - t 2 ∂ t = - 2 t

Já no cálculo de:

∂ t 2 - s 2 ∂ t

Novamente s sendo uma constante, temos:

∂ t 2 - s 2 ∂ t = 2 t

Substituindo na expressão principal:

∂ f s 2 - t 2 , t 2 - s 2 ∂ t = ∂ f ∂ s 2 - t 2 - 2 t - 2 t

=   - 4 t ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2

Portanto:

∂ g ∂ t = - 4 t ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2  

Aeee, com isso finalizamos! Encontramos que:

∂ g ∂ s =   4 s ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2 ∂ g ∂ t = - 4 t ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2  

Espero que vocês tenham entendido bemm direitinho.

Até a próxima, galera! Fuuui!

Resposta

∂ g ∂ s =   4 s ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2 ∂ g ∂ t = - 4 t ⋅ ∂ f ∂ s 2 - t 2  

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