Verifique se a função

g x = 1 + x 2 ,     x ≤ 1 - x + 3 ,     x > 1

Tem derivada em x = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para que a função tenha derivada em x = 1 é necessário que a derivada para x → 1 - ( x tendendo a 1 pelos números à esquerda de 1 ) seja igual a x → 1 + ( x tendendo a 1 pelos números à direita de 1 ).

Dessa forma, devemos calcular a derivada para ambas as situações ( x ≤ 1 e x > 1 ) e verificar o limite para x → 1 - e x → 1 + .

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, para x   ≤   1 , temos g ( x )   =   1   +   x 2 , e sua derivada é:

g ' ( x )   =   2 x

E, por outro lado, para x   >   1 , temos g ( x )   =   - x   +   3 , e sua derivada é:

g ' ( x )   =   - 1

Agora, vamos calcular os limites das derivadas quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Dessa forma, para o limite da derivada à esquerda:

lim x → 1 - ⁡ 2 x =

= 2 * 1 ∴

= 2

Já para o limite da derivada à direita, temos:

lim x → 1 + ⁡ - 1 =

= - 1

Como o limite da derivada à esquerda é diferente do limite da derivada à direita, concluímos que a função g ( x ) não é diferenciável em x   =   1 .

Portanto, a função não possui derivada nesse ponto.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função não possui derivada nesse ponto.

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .