Determine a e b reais para que a função f dada por f ( x )   =   x ² ,   s e   x < 1 ; f ( x )   =   a x + b ,   s e   x ≥ 1 ; seja derivável em 1.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão quer que a gente determine valores para as constantes a e b de modo que a função f(x), que é definida por intervalos, seja diferenciável no ponto x = 1. Então, primeiro, a gente precisa saber quando uma função é diferenciável em um ponto. Para isso, iremos analisar duas condições:

i) A primeira condição a ser satisfeita é que a função seja contínua no ponto x, em questão. Para a função ser contínua, precisamos que o seu limite quando x tende à 1 exista, tanto pela esquerda quanto pela direita. (É importante notar que, uma função ser contínua em um ponto é uma condição necessária, mas não suficiente, pois isso não implica necessariamente que ela é diferenciável nesse ponto)

ii) A função deve admitir derivada no ponto x = 1. Para isso, sua derivada deve existir nesse ponto.

Então, tudo que temos a fazer é calcular o limite e a derivada da função quando x tende a 1 para ajustar as constantes a e b. Então vamos lá!

Passo 2

Se nos aproximarmos de x = 1 pela esquerda, temos que a função f(x) é dada pela função f ( x ) = x ² . Então, por ser um polinômio e, consequentemente, contínua, o seu limite a substituição simples da variável

l i m x → 1 ⁻ x ² = 1

Então, para f(x) ser contínua, precisamos que o limite pela direita também seja igual à 1. Pela direita, a função é definida pela reta ax+b, então o seu limite é simplesmente:

l i m x → 1 a x + b = a + b = 1

Então, exigindo continuidade da função f(x) em x = 1, encontramos o vínculo b = 1 - a para as constantes. Então, precisamos determinar apenas uma delas para que a outra seja obtida. Para isso, vamos derivar a função f(x) e verificar a condição para que a função tenha derivada em x = 1. Então bora lá derivar a função!

Passo 3

Pelo lado esquerdo de x = 1, temos que a derivada da função, dada por x², é simplesmente a derivada de um polinômio. Como a derivada de uma função do tipo y ( x ) = x n é dada por

d x n d x = n x n - 1 ,

Para n = 2, temos então que

d d x ( x ² ) = 2 x

Quando x tende à 1 pela esquerda, a derivada da função tende à 2 × 1 = 2 . Portanto, para que a derivada exista, temos que seu valor pela direita também deve tender à 2. Como pela direita a função é dada por uma reta, cuja derivada é apenas

d d x ( a x + b ) = a

Encontramos que o valor de a deve ser igual à 2. Portanto, com o valor da constante a determinado, podemos obter o valor de b através do vínculo b = 1 - a . Assim, temos

b = 1 - 2 = - 1

Então, a função f(x) definida para x ≥ 1 , deve ser dada pela reta

f ( x ) = 2 x - 1

Que, como esperado, é justamente a reta tangente à função x² no ponto x = 1. Qualquer outra reta apresentaria um “bico” no ponto x =1 e a função, apesar de ser contínua, não seria mais diferenciável nesse ponto.

Resposta

a = 2

b = - 1

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