Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Decida se a proposição abaixo é falsa ou verdadeira, justificando:

Se f não é derivável em x = 0 , então lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

Passo 1

Vamos começar tentando entender o que ele está falando ali, ele começou afirmando que a função f não é derivável em x = 0 , e disse que isso faz com que se tenha

lim x → 0 ⁡ f x ≠ f 0

A função ser derivável ou não é de boa, mas o que é isso que ele afirmou no final?

Ele quer dizer que o limite da função quando x tende a 0 é diferente do valor da função em x = 0 , isso te lembra alguma coisa?

Quando temos o limite sendo igual ao valor da função isso quer dizer que a função é contínua.

Isso quer dizer que a afirmação dele na verdade é

Se f não é derivável em x = 0 , então ela não é contínua.

Mas isso não é verdade, podemos ter funções que não são deriváveis mas que sejam contínuas em x = 0 . Um exemplo seria

f x = x

Essa é a função módulo, podemos escrever essa função assim

f x = - x x < 0 x x ≥ 0

Assim o gráfico vai ficar

E ela é contínua, mas a sua derivada vai ser

f ' x = - 1 x < 0 1 x ≥ 0

E isso vai dizer que sua derivada em x = 0 não existe mas ela é contínua, isso é um contra exemplo dessa afirmação

Resposta

Falso

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Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para to
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe