Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

c )   f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

E perguntou sobre a derivada dessa função. Mas você lembra de os dois requisitos pra uma função ser derivável em um determinado ponto?

O primeiro é que no ponto em questão a função precisa ser contínua, ou seja, os limites laterais precisam ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto.

E o segundo critério é que a derivada lateral também precisa ser igual

Então a ideia é aplicar esses critérios na nossa função e verificar se temos derivada! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Começando pelo limite quando x ≠ 0

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = 0 . l i m i t a d a = 0

Ok! Vemos que o produto de uma função contínua ( x 2 ) por uma limitada (o seno pode valer entre - 1 e 1 apenas) é zero. Beleza? Até agora vemos que a função é contínua, agora vamos ver se ela é derivável

Passo 3

Pra ver se ela é derivável, o limite da derivada deve ser igual. Primeiro vamos achar a derivada

f ' x = 2 x sin ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Agora vamos calcular o limite para x → 0

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x =

Separando em dois limites

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 1 x - lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x

Nos dois limites temos o produto de uma função limitada (entre - 1 e 1 ) por uma contínua 2 x e x respectivamente que ambas vão à zero quando x → 0 , sendo assim esse limite é zero

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x = 0

Ou seja, tanto a função quanto a derivada tem o mesmo valor nas duas partes de suas definições, então temos que nossa função é derivável em x 0 = 0

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

c o n t í n u a   e   d e r i v á v e l   e m   x 0 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .