Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Assinale a alternativa cuja afirmação é verdadeira

  1. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f não possui pontos críticos, então f não possui extremos globais
  2. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função qualquer tal que f 1   f - 1 < 0 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f c = 0
  3. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função contínua tal que f é derivável em ] - 1,1 [ e f 1 = f - 1 + 1 , então existe c ∈   ] - 1,1 [ tal que f ' c = 1
  4. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável e c ∈   ] - 1,1 [ é o único ponto crítico de f , então c é extremo global de f .
  5. Se f : ] - 1,1 [ → I R é uma função derivável tal que f 0 = 1 e f ' x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [ , então f x > 0 para todo x ∈   ] - 1,1 [

Passo 1

Pra gente resolver essa questão vamos ter que testar cada afirmativa uma a uma, beleza? Vamos começar com a letra a . Ela diz que não temos extremos globais. Será que é verdade? Bem, como o intervalo do domínio é aberto, nem - 1 nem 1   podem ser considerados pontos de extremo global, o que elimina a possibilidade de a função ser estritamente crescente ou decrescente e um desses pontos atuar como extremos globais.

Entããããão, o único jeito dessa função ter extremos globais dentro desse intervalo é se ela tiver extremos locais! E só os pontos críticos podem garantir isso! Ou seja, se a função não tiver pontos críticos, não vamos ter máximos ou mínimos! Essa afirmativa é a verdadeira!

Mas vamos continuar, porque é importante vermos o porque das outras serem falsas!

Passo 2

A letra b nos dá uma quase verdade. Pensa comigo, se eu multiplico um valor negativo por outro positivo, dá negativo certo? Então se f - 1 for positivo e f 1 for negativo, ou vice versa, necessariamente entre - 1 e 1 existe um x = c que zera a função. Caso contrário, os sinais de f - 1 e f 1 não teriam como ser diferentes.

Só um detalhezinho galera, que torna essa letra falsa. A letra b não fixa que f é contínua! Então pode existir uma função descontínua como por exemplo...

f x = 1 ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0

...em que f 1   f - 1 < 0 sem que exista uma raiz c tal que f c = 0 e c esteja entre - 1 e 1 . Veja que nesse exemplo nem sequer existe um valor de c que zere a função!

Passo 3

A letra c está condicionando a existência de pontos críticos a um algebrismo. Bem, se f 1 = f - 1 + 1 , então necessariamente f 1 > f - 1 . Só que o caminho que leva de - 1 , f - 1 até 1 , f 1 pode ser, por exemplo, estritamente crescente! Como uma reta por exemplo! Não precisa ter um ponto de máximo ou de mínimo no meio do caminho pra o segundo ponto estar mais alto que o primeiro!

A reta que casa algebricamente com o imposto é:

f x = 1 2 x

Perceba que:

f ' x = 1 2

Logo a reta não possui pontos críticos, a restrição imposta está satisfeita e de quebra vimos que o caminho pode ser sim estritamente crescente. Tudo abobrinha o que a letra c disse!

Passo 4

A letra d engana a gente, mas por sorte até já comentamos um pouco a respeito aqui. Ok, belezinha, minha função é derivável E tem um ponto crítico.

Maaaaaas, a questão parte do princípio que todo ponto crítico indica um ponto de máximo ou de mínimo! Nem sempre é o caso! Veja por exemplo:

f x = x 3

Essa função é estritamente crescente! No entanto:

f ' x = 3 x 2

x = 0 → P o n t o   c r í t i c o   p e r t e n c e n t e   a   ] - 1,1 [

O ponto x = 0 é um ponto crítico mas ele não é nem de máximo nem de mínimo porque o sinal da primeira derivada é sempre positivo, o que prova que a função é sempre crescente. Dessa forma o extremo global da função está no intervalo proposto e não no ponto crítico! Próximo e último pessoal!

Passo 5

Show, bora pra última letra. A e diz que se a função é estritamente crescente nesse intervalo, algo que ela diz ao afirmar que f ' x > 0 , então ela ta necessariamente acima do eixo x no intervalo, algo que ela diz ao afirmar que f x > 0 .

Oras, uma função pode ser crescente e estar abaixo do eixo x ! Então é falso! Veja o exemplo:

f x = 2 x + 1

Essa função é maior que 0 somente pra x > - 1 2 . Ou seja, no intervalo ] - 1 , - 1 2 [ , um intervalo pertencente ao intervalo ] - 1,1 [ , a função está abaixo do eixo x ! E sendo uma reta cuja derivada é sempre positiva:

f ' x = 2

Então temos ai uma função estritamente crescente. Ah, e além disso, essa função em específico satisfaz:

f 0 = 1

Restrição imposta pelo enunciado. Fechamos então!

Resposta

L e t r a   A

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