Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

c) Explique porque f 0 < 6 .

Passo 1

Faaaaaaalaa galerinha, tudo na paz por aí?

Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função f . É falado que:

1 ) f : - 1,4 → I m ( f )  

Isso significa que f tem como domínio o conjunto [ - 1,4 ] .

2 )  

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

3 )   f ' x < - 1 em [ - 1,4 ]

Essa informação é crucial, pois se f ' x < - 1 , também é verdade que f ' x < 0 . Isso significa que no intervalo [ - 1,4 ] a função é sempre decrescente.

Show! Após essas informações o enunciado nos pede para explicar porque:

f 0 < 6

Tem um teorema bem importante que nos ajuda bastante a responder essa questão. É o Teorema do Valor médio. Ele diz que:

Se uma função f é contínua no intervalo [ a , b ] e derivável no intervalo ( a , b ) , então existe um número c tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Assim, podemos usar o fato da informação 1 ) , ou seja, que:

f ' x < - 1

Junto com o TVM em que um dos termos será 0 ( a ou b igual a 0 ).

Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Bom, como comentamos antes, sabemos que f ' x < - 1 para qualquer x ∈ [ - 1,4 ] . Assim, independente do a e b que escolhermos pelo TVM, se a , b ∈ [ - 1,4 ] é sempre verdade que:

f b - f a b - a < - 1

Como queremos provar que f 0 < 6 , podemos escolher b = 6 . Já para a , analisando os dados da informação 2 ) :

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

podemos escolher a =   - 1 , assim o denominador já fica igual a 1 . Se usando esse valor de a ainda não conseguirmos provar a relação, é só escolhermos outro, mas com certeza vai sair por esse caminho 😊

Voltando para o TVM com b =   0 e a =   - 1 , temos:

f b - f a b - a = f 0 - f - 1 0 - - 1 < - 1

Daí:

f 0 - f - 1 0 - - 1 = f 0 - 7 0 - - 1 < - 1

⇒ f 0 - 7 < - 1

Manipulando um pouco, chegamos que:

f 0 < 6

Aeee! Como queríamos provar hahaha!

Valeu pela atenção gente, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto acima.

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