6. Sabendo que f é diferenciavel em x = 3 e que

lim x → 3 ⁡ x 2 f x - 45 x - 3 = 21

Determine f 3 e f ' 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão, vamos usar a definição de derivada.

Para quem não lembra, podemos calcular a derivada de um ponto a por:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

O problema nos forneceu um limite parecido com esse, mas note que temos x 2 multiplicando a nossa f x .

Vamos entender o que está acontecendo!

Passo 2

O enunciado nos disse que f é diferenciavel. Então a nossa derivada de f no ponto 3 é dada por:

f ' = lim x → 3 ⁡ x 2 f x - 45 x - 3 = 21

Repara que essa função expressão é parecida com a nossa definição de derivada. Então, comparando as duas, podemos dizer que

f = x 2 f x

Sendo assim, podemos dizer que no ponto 3 temos

3 2 f 3 = 45

f 3 = 45 9 = 5

Pronto! Agora vamos calcular a derivada!

Passo 3

Para acharmos f ' 3 , primeiro temos que encontrar quem é a nossa f x e conseguimos achar isso pela informação do Passo 2.

Repara que achamos que

f 3 = 5

Então precisamos achar uma função cuja substituir x por 3 será 5 . Pensa que podemos escrever assim:

f x = x + 2

Calculando,

f ' 3 = lim x → 3 ⁡ x + 2 - 5 x - 3 = lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3 = 1

Prontinho!

Resposta

f 3 = 5

f ' 3 = 1

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .