Parte 1: Mostre que f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1   não é derivável em x 0 = 1 e calcule f ' ( 1 )

Parte 2: Esboce o gráfico de f

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Nessa segunda parte vamos fazer o esboço da função!

Já mostramos que ela não é diferenciável, embora seja contínua! Isso porque...

Verificamos a continuidade:

f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1

Antes de 1

1 2 + 2 = 3

Depois de 1

2.1 + 1 = 3

E também quanto a derivada! Saca só a derivada dessa função:

f ' x = 2 x ,   x < 1 2 , x ≥ 1

Ela assume valores iguais em torno de 1 ! E por isso, essa função é diferenciável.

Pela esquerda ela tem cara de parábola, depois passa a ser uma reta!

Então a ideia é usar essas informações para construir o gráfico!

Bora lá!

Passo 2

A função é

f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1

Em torno de x = 1 ela vale 3 ! E a inclinação pelos dois lados é 2

E organizando essas informações temos:

Percebe como em torno do ponto de ‘quebra’ a mudança entre as funções é suave? Isso nos mostra que sim a função é diferenciável! Uma função não diferenciável teria um bico!

beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .