Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

  1. Se lim x → + ∞ ⁡ f ' x = 0 então lim x → + ∞ ⁡ f x = L ∈ R

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Se lim x → + ∞ ⁡ f ' x = 0 então lim x → + ∞ ⁡ f x = L ∈ R

E agora, essa afirmação é verdadeira?

Quando temos uma derivada zero no infinito, isso significa necessariamente que a função tende a um valor finito no infinito?

Sabemos que uma função explode para infinito quando

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Será que uma coisa está relacionada com a outra?

Então a ideia é analisar funções em que isso falha! Assim podemos afirmar que é falsa!

Bora lá!

Passo 2

Vamos pegar o exemplo dessa função aqui

f x = ln ⁡ x

Analisando sua derivada

f ' x = 1 x

Vemos que no infinito essa derivada tende à zero! Mas a função não tende a um valor finito no infinito, ela explode!

Ou seja, mesmo que a inclinação da reta tangente seja zero, isso não significa, necessariamente, que a função explode!

Portanto essa afirmativa é falsa

E é isso! Até a próxima!

Resposta

f a l s a

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