Parte 1: Mostre que f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1   não é derivável em x 0 = 1

Parte 2: Esboce o gráfico de f

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1

E faz uma afirmação:

Ela não é derivável em x 0 = 1

E agora, como mostrar isso?

Quando temos uma função definida por partes, para que ela seja derivável ela precisa ser contínua no ponto de ‘quebra’ e a derivada nesse ponto precisa valer a mesma coisa!

Sendo assim a ideia é primeiro verificar que ela é contínua. Depois disso determinar a derivada de cada uma das partes e verificar que no ponto 1 elas valem a mesma coisa! Se ela já falhar na continuidade, então já podemos parar por aqui, pois uma função não diferenciável é necessariamente uma função não contínua! (o contrário não é verdadeiro heim, fica ligado)

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Verificando a continuidade:

f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1

Antes de 1

2.1 + 1 = 3

Depois de 1

- 1 + 4 = 3

Então sim, essa função é contínua!

Belezinha?

Passo 3

Agora vamos verificar a derivada! Sabemos que a derivada de uma função do tipo A x n é A n x n - 1

Daí a derivada das partes da nossa função fica

f ' x = 2 ,   x < 1 - 1 , x ≥ 1

Ambas as partes são constantes e diferentes! Sendo assim, nossa função não é diferenciável! Embora seja contínua

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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