Seja h x = | x 2 - 4 | , x ∈ R .

(a) Dê os pontos onde h é duas vezes diferenciável e determine h ' x e h ' ' ( x ) .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?

Nessa questão temos uma função modular que devemos determinar os pontos em que ela é diferenciável e também calcular sua derivada primeira e segunda, ou seja, derivar a função duas vezes. Vamos juntos e você vai perceber que é mais tranquilo do que parece, beleza?

Primeiramente vamos abrir o modulo, ou seja, vamos determinar onde a função é positiva e onde a função é negativa.

As raízes da função que está dentro do módulo são:

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = 4 = ± 2

Logo, temos

h x = x 2 - 4 = ( x 2 - 4 ) ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - ( x 2 - 4 ) ,     - 2 ≤ x < 2

Passo 2

Vamos agora usar a definição de derivada para calcular o limite nos pontos de mudança na lei de formação da função.

Para x = - 2 pela esquerda:

lim x → - 2 - ⁡ ( f x - f - 2 ) x - ( - 2 ) = - 4

Para x = - 2 pela direita:

lim x → - 2 + ⁡ ( f x - f - 2 ) x - ( 2 ) = 4

Para x = 2 pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ ( f x - f 2 ) x - ( 2 ) = - 4

Para x = 2 pela direita:

lim x → 2 + ⁡ ( f x - f 2 ) x - ( 2 ) = 4

Note que os limites laterais são distintos. Logo, temos no gráfico da função um “bico”. Nesses pontos a derivada não existe. Dessa forma, função é duas vezes diferenciável quando x ≠ 2 e x ≠ - 2 .

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função.

Derivada primeira:

h ' x = x 2 - 4 ' = ( x 2 - 4 ) ' ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - ( x 2 - 4 ) ' ,     - 2 ≤ x < 2

h ' x = x 2 - 4 ' = 2 x ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - 2 x ,     - 2 ≤ x < 2

Derivada segunda:

h ' ' x = ( 2 x ) ' ,     x < - 2 ; x ≥ 2 ( - 2 x ) ' ,     - 2 ≤ x < 2

h ' ' x = 2 ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - 2 ,     - 2 ≤ x < 2

Prontinhoooo! Finalizamos!

Resposta

É duas vezes diferenciável quando x ≠ 2 e x ≠ - 2 .

h ' x = x 2 - 4 ' = 2 x ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - 2 x ,     - 2 ≤ x < 2

h ' ' x = 2 ,     x < - 2 ; x ≥ 2 - 2 ,     - 2 ≤ x < 2

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