Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Seja

f x = 3 - x 2 , x < 1 1 x , x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Começamos vendo se a função é contínua nesse ponto, para, se for contínua, observar se as derivadas laterais batem, o que comprovaria sua diferenciabilidade nesse ponto.

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 1 x

= 1 1 = 1

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 3 - x 2

= 3 - 1 2 = 1

A função é contínua!

Passo 2

Então, derivamos cada domínio, e vemos se as derivadas laterais batem:

f ' x + = 1 x ' = x - 1 2 ' = - 1 2 x - 3 2

f ' x - = 3 - x 2 ' = - 1 2

Em x = 1 :

f ' 1 + = - 1 2 x - 3 2 = - 1 2 1 1 3 2 = - 1 2

f ' 1 - = - 1 2

As derivadas laterais bateram!

Conclusão? Além de contínua, a função é diferenciável em x = 1

Resposta

f   é   d i f e r e n c i á v e l   e m   x = 1     ;     f   é   c o n t í n u a   e m   x = 1

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