Considere a seguinte função f : R → R dada por f x = 1 - x ,   s e   x ≤ 0 1 ,   s e   x > 0 . Podemos afirmar que:

  1. ∄ f ' 0 ;
  2. f ' 0 = 1
  3. f ' 0 = - 9 ;
  4. f ' 0 = - 4 ;
  5. f ' 0 = - 2 ;

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 1 - x ,   s e   x ≤ 0 1 ,   s e   x > 0

E perguntou sobre a derivada dessa função. Mas você lembra de os dois requisitos pra uma função ser derivável em um determinado ponto?

O primeiro é que no ponto em questão a função precisa ser contínua, ou seja, os limites laterais precisam ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto.

E o segundo critério é que a derivada lateral também precisa ser igual

Então a ideia é aplicar esses critérios na nossa função e verificar se temos derivada! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Nossa função

f x = 1 - x ,   s e   x ≤ 0 1 ,   s e   x > 0

Fazendo os limites bilaterais em torno de 0 temos

lim x → 0 - ⁡ 1 - x = 1

lim x → 0 + ⁡ 1 = 1

Ok! São iguais! E no ponto

f 0 = 1 - 0 = 1

Todos os valores iguais!

Agora vamos ver a derivada! Derivando as partes temos

f x = - 1 ,   s e   x ≤ 0 0 ,   s e   x > 0

Vemos que em 0 a derivada assume valores diferentes, então isso significa que embora essa função seja contínua, ela não é derivável!

E a alternativa correta é (a)

∄ f ' 0 ;

E é isso! Até a próxima!

Resposta

a

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .