Seja f :   R → R dada por

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

(a) A função f é contínua em x = 2 ? Justifique sua resposta.

(b) A função f é derivável em x = 2 ? Justifique sua resposta. Caso sim, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 2 .

Passo 1

Olha, é quase garantido que uma questão como essa vai aparecer na sua prova. Então vamos juntos entender como resolver cada etapa.

Primeira coisa, como eu vejo se a função é contínua? O jeito mais fácil é esse aqui: a função é contínua se:

lim x → a ⁡ f x = f a

Entendeu? A função é contínua se o limite dela tendendo a um ponto é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

(a) A gente quer saber se a questão é contínua em x = 2 , então vamos começar calculando esse limite aqui:

lim x → 2 ⁡ f x

Pra esse limite existir, ele tem que ser o mesmo quando x se aproxima do 2 pela direita e pela esquerda:

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ f x

Quando a gente calcular o limite com x → 2 + , qual “definição” da função a gente usa?

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

A primeira! Em que x ≥ 2 , então:

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x 2 - 3

E aqui é só substituir direto!

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 3 = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

E quando a gente calcular o limite com x → 2 - , é só usar a outra definição:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ 4 x - 7

E mais uma vez é só substituir direto:

lim x → 2 - ⁡ 4 x - 7 = 4 2 - 7 = 8 - 7 = 1

Beleza, os dois limites são iguais, então:

lim x → 2 ⁡ f x = 1

Passo 3

Agora falta a outra parte da igualdade. Lembrando nossa ideia é mostrar que:

lim x → 2 ⁡ f x = f 2

A gente já viu que o lado esquerdo dessa equação é 1 , então a ideia é mostrar isso aqui:

f 2 = 1

Bom, olhando de novo para a definição da função do enunciado:

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

Quando x é igual a 2 , a gente tem que usar o ramo de cima, que vale para x maior ou igual a 2 , então:

f 2 = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

Beleza, é isso que a gente precisava provar:

lim x → 2 ⁡ f x = f 2 = 1

Então a função é contínua em x = 2 !

Passo 4

Então tá, agora como a gente faz pra descobrir se a função é derivável?

Aqui a justificativa é bem simples: já que a função é contínua em x = 2 , então ela é derivável em x = 2 .

E o enunciado também pede para encontrarmos a equação da reta tangente em x = 2 .

O primeiro passo para isso é calcular a derivada da função em x = 2 . Dê mais uma olhada na função:

f x = x 2 - 3           ,           s e   x ≥ 2 4 x - 7             ,           s e   x < 2

O melhor jeito de fazer essa derivada é usando a definição:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ f 2 + h - f 2 h

Nos dois casos ( f ( 2 + h ) e f ( 2 ) ), temos que usar o ramo de cima da função:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 2 + h 2 - 3 - 2 2 - 3 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 4 + 4 h + h 2 - 3 - 4 + 3 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 4 h + h 2 h

Simplificando mais um pouco:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 4 + h

Então, quando h tende à zero:

f ' 2 = 4

Essa é a derivada da função no ponto 2 , então essa é a inclinação da reta tangente nessa ponto.

Passo 5

Do que mais a gente precisa para encontrar a equação da reta tangente em x = 2 ?

A reta vai ter uma equação como essa aqui:

y = a x + b

Mas a gente já sabe qual a inclinação da reta é f ' 2 = 4 , então a = 4 :

y = 4 x + b

Só precisamos de mais uma informação! A gente sabe que a reta tangencia a função f no ponto x = 2 , onde y = f 2 = 1 , então:

1 = 4 2 + b

1 = 8 + b

b = - 7

E a equação da reta tangente no ponto x = 2 é:

y = 4 x - 7

Resposta

(a) lim x → 2 ⁡ f x = f 2 , então a função é contínua.

(b) A função é contínua, e portanto é diferenciável. A equação da reta tangente à função no ponto x = 2 é y = 4 x - 7 .

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