Se f : - 1,4 → I m ( f ) é uma função diferenciável tal que f - 1 = 7 ,   f 1 = 2 ,   f 2 = 0 e f ' x < - 1 em [ - 1,4 ] .

b) Prove que existem x 0 e x 1 em [ - 1,4 ] tais que

f ' x 0 =   - 2 ,   f ' x 1 =   - 7 / 3

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo na paz?

Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função f . É falado que:

1 ) f : - 1,4 → I m ( f )  

Isso significa que f tem como domínio o conjunto [ - 1,4 ] .

2 )  

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

3 )   f ' x < - 1 em [ - 1,4 ]

Essa informação é crucial, pois se f ' x < - 1 , também é verdade que f ' x < 0 . Isso significa que no intervalo [ - 1,4 ] a função é sempre decrescente.

Massa!

Nesse item, o enunciado nos pede para provar que, para algum número dentro do intervalo [ - 1,4 ] é verdade que:

f ' x 0 =   - 2 ,   f ' x 1 =   - 7 / 3

Tem um teorema bem importante que nos ajuda bastante a responder essa questão. É o Teorema do Valor médio. Ele diz que:

Se uma função f é contínua no intervalo [ a , b ] e derivável no intervalo ( a , b ) , então existe um número c tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Show? Então é isso, vamos usar as informações de 2 ) junto com o TVM pra provar o que o enunciado está pedindo.

Passo 2

Primeiramente vamos provar que existe um x 0 tal que:

f ' x 0 =   - 2

Como falamos anteriormente, a ideia é usar o TVM. Para que não fique nenhuma dúvida, vamos juntos dar uma olhada se nossa f atende às hipóteses desse teorema.

Bom, para aplicar o TVM nossa função precisa ser:

- Contínua no intervalo [ a , b ] .

O enunciado nos fala que f é diferenciável em seu domínio [ - 1,4 ] . Mas, como diferenciabilidade implica continuidade, também podemos afirmar que f é contínua em [ - 1,4 ] .

- Diferenciável no intervalo ( a , b ) .

Bom, pelo enunciado f é diferenciável em [ - 1,4 ] . Logo, ela é claramente diferenciável no intervalo aberto ( - 1,4 ) .

Pronto, nossa f atende às hipóteses do teorema.

Passo 3

Agora vamos aplicar na prática. Queremos mostrar que:

f ' x 0 =   - 2 = f b - f a b - a

Se mostrarmos que essa relação é obedecida, pelo TVM mostramos que, de fato, existe um x 0 que satisfaz. Vamos então dar uma olhadinha nas informações de 2 ) :

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

Se fizermos b = 2 e a = 1 , temos:

f b - f a b - a = 0 - 2 2 - 1 = - 2

Excelente! Com isso, provamos então que existe um x 0 tal que:

f ' x 0 =   - 2 = f 2 - f 1 2 - 1

Muito bom!

Passo 4

Pra finalizar, vamos repetir a ideia do passo 3 mas agora querendo provar que existe um x 1 tal que:

f ' x 1 =   - 7 3 = f b - f a b - a

Massa!

Olhando novamente nossas informações de 2 ) , vem:

f - 1 = 7 f 1 = 2 f 2 = 0

Assim, escolhendo b =   - 1 e a = 2 , vem:

f - 1 - f 2 - 1 - 2 = 7 - 0 - 3

=   - 7 3

Olha que perfeito!

Assim, mostramos também que existe um x 1 tal que:

f ' x 1 =   - 7 3 = f - 1 - f 2 - 1 - 2  

Uhuuul! Prontinho galera, matamos mais uma questão!

Até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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