Seja

f x , y = y 3 x 2 + y 2 ,               x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                         x , y = ( 0,0 )

  1. Determine se f é contínua no ponto ( 0,0 ).
  2. Determine se f é diferenciável no ponto (0,0).

Passo 1

Meus consagrados! Dando continuidade a questão (LITERALMENTE KKKK), precisamos agora verificar a diferenciabilidade. Há de se ressaltar que se ela não fosse contínua também não seria diferenciável e nosso problema seria mais curto. Como f é contínua, precisamos verificar.

Uma função f é diferenciável em um ponto   p → se existe o limite:

∂ f ∂ v = l i m h → 0     f p → + h v → - f p → h

Para um v → unitário arbitrário.

Fora da origem, temos que:

∇ f x , y = - 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2   , 3 y 2 x 2 + y 2 - y 3 ⋅ 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 = - 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2   , 3 x 2 y 2 + y 4 ( x 2 + y 2 ) 2

A função é contínua fora da origem, logo as derivadas direcionais:

∂ f ∂ v = ∇ f x , y ⋅ v →

existem e são contínuas. De forma que, fora da origem, f é diferenciável.

Passo 2

Na origem contudo, o limite com v → = ( v 1 , v 2 ) será:

l i m h → 0     f h v → - f 0,0 ⏞ = 0 h =   l i m h → 0     f h v → h = l i m h → 0     1 h h v 2 3 h v 1 2 + h v 2 2  

= l i m h → 0     h 3 h 3 v 2 3 v 1 2 + v 2 2 ⏟ = 1 ^ 2 = v 2 3  

Logo, o limite existe. E a função é diferenciável tanto fora da origem quanto nesta.

Resposta

f é diferenciável em R 2 .

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .