Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x 0 indicado.

b )   f x = x sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0 ,   x 0 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

E perguntou sobre a derivada dessa função. Mas você lembra de os dois requisitos pra uma função ser derivável em um determinado ponto?

O primeiro é que no ponto em questão a função precisa ser contínua, ou seja, os limites laterais precisam ser iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto.

E o segundo critério é que a derivada lateral também precisa ser igual

Então a ideia é aplicar esses critérios na nossa função e verificar se temos derivada! Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Começando pelo limite quando x ≠ 0

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0 . l i m i t a d a = 0

Ok! Vemos que o produto de uma função contínua ( x ) por uma limitada (o seno pode valer entre - 1 e 1 apenas) é zero. Beleza? Até agora vemos que a função é contínua, agora vamos ver se ela é derivável

Passo 3

Pra ver se ela é derivável, o limite da derivada deve ser igual. Primeiro vamos achar a derivada

f ' x = sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x x ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Agora vamos calcular o limite para x → 0

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x x =

Separando em dois limites

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x - lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x x

O primeiro limite temos o produto de 1 por uma função limitada. Por tanto aqui já temos que o limite não existe, embora não seja infinito, não tem um valor definido. Sendo assim concluímos que a função f ( x ) não é derivável em x 0 = 0

Beleza?

E é isso! Até a próxima!

Resposta

c o n t í n u a   m a s   n ã o   d e r i v á v e l   e m   x 0 = 0

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