Parte 1: Mostre que f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1   é derivável em x 0 = 1 e calcule f ' ( 1 )

Parte 2: Esboce o gráfico de f

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 2 x + 1 ,   x < 1 - x + 4 , x ≥ 1

E faz uma afirmação:

Ela é derivável em x 0 = 1

E agora, como mostrar isso?

Quando temos uma função definida por partes, para que ela seja derivável ela precisa ser contínua no ponto de ‘quebra’ e a derivada nesse ponto precisa valer a mesma coisa!

Sendo assim a ideia é primeiro verificar que ela é contínua. Depois disso determinar a derivada de cada uma das partes e verificar que no ponto 1 elas valem a mesma coisa! Se ela já falhar na continuidade, então já podemos parar por aqui, pois uma função não diferenciável é necessariamente uma função não contínua! (o contrário não é verdadeiro heim, fica ligado)

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Verificando a continuidade:

f x = x 2 + 2 ,   x < 1 2 x + 1 , x ≥ 1

Antes de 1

1 2 + 2 = 3

Depois de 1

2.1 + 1 = 3

Então sim, essa função é contínua!

Belezinha?

Passo 3

Agora vamos verificar a derivada! Sabemos que a derivada de uma função do tipo A x n é A n x n - 1

Daí a derivada das partes da nossa função fica

f ' x = 2 x ,   x < 1 2 , x ≥ 1

E em torno de 1 a derivada precisa ser o mesmo valor! Bora testar? Antes:

2.1 = 2

Depois:

2

Beleza! Temos que a derivada nesse ponto também vale a mesma coisa! Isso significa que a função é diferenciável!

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .