Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO). Se VERDADEIRO, justifique sua resposta, se FALSO, apresente uma função que satisfaça tal propriedade.

() Se f ( x ) for uma função contínua no ponto x = a , então f é derivável em x = a .

() Se f ( x ) for uma função derivável no ponto x = a , então f é contínua em x = a .

() Se f ' ( a ) existe, então l i m x → a f ( x ) = f ( a ) .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos que analisar a veracidade das seguintes afirmações

() Se f ( x ) for uma função contínua no ponto x = a , então f é derivável em x = a .

() Se f ( x ) for uma função derivável no ponto x = a , então f é contínua em x = a .

() Se f ' ( a ) existe, então l i m x → a f ( x ) = f ( a ) .

para fazer isso, vamos lembrar que uma função diferenciável em um ponto qualquer x = a é necessariamente contínua em x = a , no entanto, o contrário não é verdade! Vamos discutir essa afirmação com calma!

Passo 2

Vamos trabalhar as duas primeiras alternativas em conjunto, note que a primeira afirmação é FALSA, e a segunda é VERDADEIRA. Uma função contínua não é derivável necessariamente, por exemplo, a função módulo

f ( x ) = | x |

ela tem como gráfico

ou seja, é claramente contínua em x = 0 , no entanto, pela definição de derivada, temos que

l i m h → 0 f ( 0 + h ) - f ( 0 ) h

é derivada em x = 0 , no entanto, pela definição de módulo, temos que os limites laterais tomam a seguinte forma

l i m h → 0 + h - 0 h = 1 e l i m h → 0 - - h - 0 h = - 1

ou seja, os limites laterais são diferentes, indicando que o limite não existe! Sendo assim, uma função contínua não necessariamente é derivável!

Passo 3

No entanto, como vimos anteriormente, temos que uma função é derivável em um ponto se

l i m h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h

existe e é finito! Pois essa é a inclinação de uma reta tangente a nossa função! Note que só é possível haver uma reta tangente se a função for contínua! Se houver uma descontinuidade em x = a , teríamos que o nosso limite não existiria ou seria infinito! Falta apenas uma afirmativa, que pede para avaliarmos a afirmação

Se f ' ( a ) existe, então l i m x → a f ( x ) = f ( a )

novamente, está dizendo, se a função é diferenciável em x = a , ela é contínua, pois

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

é a definição de continuidade! Sendo assim, como discutimos anteriormente, a afirmação é VERDADEIRA! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

FVV

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