Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

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Enunciado

Seja f tal que f x ≤ x ² , ∀ x   ∈   R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Para provar que f é derivável nesse ponto, temos que garantir que f seja contínua e que o limite de sua derivada exista. Ou seja, em termos matemáticos, precisamos que:

lim x → 0 ⁡ f x

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Sabendo que f x ≤ x ² , ou seja

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Vamos calcular agora!

Passo 2

O limite da continuidade:

lim x → 0 ⁡ f x

Como calculamos usando aquela relação:

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Um velho conhecido: Teorema do Confronto! Repara nisso

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Se os limites em volta convergirem para o mesmo valor, esse é o limite de f x

lim x → 0 ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Então

lim x → 0 ⁡ f x = 0

OK, ela é contínua. Para garantir se será diferenciável temos que olhar para os limites das derivadas laterais.

Passo 3

O limite da derivada:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Mesma coisa! Vamos usar o Teorema do Confronto!

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

lim x → 0 ⁡ - x 2 - - 0 2 x - 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 2 x - 0

Calculamos os dois limites dos lados:

lim x → 0 ⁡ - x 2 - - 0 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ - x 2 x

= lim x → 0 ⁡ - x = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 x

= lim x → 0 ⁡ x = 0

Boa! Os limites bateram e vemos que, com isso, o limite da derivada de f também existe.

Se f é contínua e derivável em x = 0 , provamos sua diferenciabilidade nesse ponto!

Resposta

f   é   d i f e r e n c i á v e l   e m   x = 0

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