Mostre que f x = x não é derivável em x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar que f x = x não é derivável em x = 0 .

Nesse sentido, podemos recorrer à definição de derivada (mostrada abaixo) para podermos provar isso!!

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Onde h é o intervalo de variação.

Sempre é bom lembrar que a derivada de uma função em um ponto é definida como o limite da taxa de variação média da função em relação a x , à medida que o intervalo de variação se aproxima de zero!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, vamos calcular a derivada de f ( x ) em   x   =   0 usando a definição de derivada:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 0 + h - 0 h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h h

Agora, devemos analisar o limite acima para quando o limite se aproxima pela esquerda h < 0 e quando se aproxima pela direita h > 0 .

Passo 3

Para h < 0 :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ - h h ∴

f ' 0 = - 1

Para h > 0 :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h h ∴

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h h ∴

f ' 0 = 1

Logo, vemos que o limite pela esquerda ( - 1 ) é diferente do limite pela direita ( 1 ) .

Portanto, o limite não é único e não existe um valor definido para a derivada de f ( x ) em x   =   0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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