08) Seja f tal que f x ≤ x 2 ,   ∀   x ∈ R . Mostre que f é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Ooii gente, tudo bem com vocês?

O exercício nos pede para provar que f é diferenciável em x = 0 , mas não sabemos a lei de formação dessa função. Em compensação temos uma desigualdade envolvendo ela e x 2 .

Para mostrar que f é diferenciável em um ponto, precisamos mostrar que os limites laterais abaixo são finitos e iguais:

lim x → p - ⁡ f x - f p x - p =   lim x → p + ⁡ f x - f p x - p  

Para p = 0 , temos:

lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x

Passo 2

Beleza! Para podermos calcular esses limites, precisamos antes calcular f ( 0 ) . Como não temos a lei de formação da função, devemos usar a desigualdade dada.

f 0 ≤ 0 2 = 0

Como o módulo de algo é sempre maior ou igual a zero, chegamos à conclusão que:

f 0 = 0

Top, então agora precisamos calcular:

lim x → 0 - ⁡ f x x = lim x → 0 + ⁡ f x x

É hora de chamar o querido teorema do confronto. Sabemos que:

f x ≤ x 2 ⇒   - x 2 ≤ f x ≤ x 2

Dividindo tudo por x , temos que:

- x ≤ f x x ≤ x

Beleza, agora podemos aplicar o limite quando x → 0 - para calcular um dos limites laterais:

lim x → o - ⁡ - x ≤ lim x → 0 - ⁡ f x x ≤ lim x → 0 - ⁡ x

Logo,

0 ≤   lim x → 0 - ⁡ f x x ≤ 0 ⇒   lim x → 0 - ⁡ f x x =   0  

Ótimo, fazendo o processo análogo com o nosso limite à direita, vamos ter que:

lim x → o + ⁡ - x ≤ lim x → 0 + ⁡ f x x ≤ lim x → 0 + ⁡ x

De onde vem que:

lim x → 0 + ⁡ f x x = 0

Muito bommm! Encontramos que os dois limites laterais são iguais, e consequentemente, podemos afirmar que f é diferenciável em x = 0 , inclusive com f ' 0 = 0 .

Prontinho 😊

Resposta

No texto.

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