Seja f x = x + 1 ,     x < 2 1 ,     x ≥ 2 . Verifique se f é contínua e diferenciável em 2 . Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f ( x ) , definida por partes, é contínua e diferenciável em x = 2 . Pra isso, a gente precisa relembrar que uma função é dita contínua em um ponto se o limite da função naquele ponto existe, ou seja:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

E se o valor desse limite é igual a função no ponto:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente não são diferenciáveis nesse ponto. Mas se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável. Aí pra testar se a função é diferenciável no ponto, nós temos que testar se os limites laterais são iguais e se eles são diferentes de ( ± ∞ ) .

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) ≠ ( ± ∞ )

Então, antes de tudo, vamos ter que calcular os limites laterais de f ( x ) quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda.

Vamos lá!

Passo 2

Para f x = x + 1 ,     x < 2 1 ,     x ≥ 2 , calculando o limite pela esquerda quando x → 2 , teremos:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 2 + x + 1

Como não temos nenhuma restrição no domínio, podemos apenas substituir o valor do limite na função para obter:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = 2 + 1 = 3

Da mesma forma, pela direita teremos o limite:

lim x → 2 - ⁡ f x = l i m x → 2 - x + 1

= 2 + 1 = 3

Por definição, em x = 2 nossa função assume o valor f x = 1 . Então, no ponto x = 2 :

lim x → 2 ⁡ f ( x ) ≠ f ( 2 )

Dessa forma, nossa função é descontínua no ponto x = 2 e, portanto, também não é diferenci��vel nesse ponto.

Vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Percebe como há um “salto” na função em x = 2 , sinal de que de fato há uma descontinuidade no ponto.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f   n ã o   é   c o n t í n u a   n e m   d i f e r e n c i á v e l   e m   2

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .