Use a definição para verificar se a função f x = x 2 - 4 ,       s e   x ≤ 2 x - 2 x 2 ,       s e   x > 2 tem derivada no ponto a = 2 .

Passo 1

Falaaaa, galeraaa! Tudo certo?

Bom, o objetivo dessa questão é aplicar o conceito de diferenciabilidade da função, ou seja, verificar a teoria aplicada a um ponto em uma função.

Primeiramente, devemos saber que uma função só é diferenciável se ela for contínua em um ponto. Para isso, vamos calcular os limites laterais e o limite no ponto e verificar se os valores obtidos são iguais. Calma, é bem simples, olha só.

Calculando o limite no ponto a = 2 , nós obtemos:

f 2 = lim x → 2 ⁡ f x

Observe que a função exatamente no ponto a = 2 é a x 2 - 4 . Logo, temos

f 2 = lim x → 2 ⁡ f x = lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 = 2 2 - 4 = 0

Como a função é composta por duas expressões, precisamos avaliar o limite do lado esquerdo e do lado direito.

Para o lado esquerdo:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 = 2 2 - 4 = 0

Para o lado direito:

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x - 2 x 2 = 2 - 2 2 2 = 0

Assim, como os limites laterais são iguais a função no ponto ( f 2 ), a função é contínua.

f 2 = lim x → 2 ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x

Passo 2

Agora podemos verificar o ponto principal da questão, que é identificar se a função é diferenciável. Para que isso aconteça, a derivada da função deve existir nesse ponto.

Como a função é composta por duas expressões, como já falamos no Passo 1, devemos calcular a derivada pela esquerda e pela direita também, beleza?

Bom, lembre-se que a questão pede para usar a definição de derivada para resolvê-la. Lembra dela?

lim x → 2 ⁡ f x = f x - f ( a ) x - a

Agora, pela definição acima podemos fazer:

Pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ f x - f a x - a = x 2 - 4 - ( 2 2 - 4 ) x - 2

Note que se você substituir os valores direto, você terá uma indeterminação do tipo 0 0 , então devemos cancelar a expressão igual que está presente no numerador e no denominador.

Observe que:

x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 )

lim x → 2 - ⁡ f x - f a x - a = ( x - 2 ) ( x + 2 ) - ( 2 2 - 4 ) x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x - 2 = x + 2 = 4

Pela direita:

lim x → 2 + ⁡ f x - f a x - a = x - 2 x 2 - [ 2 - 2 2 2 ] x - 2

Aqui também você terá uma indeterminação do tipo 0 0 , então devemos cancelar a expressão igual que está presente no numerador e no denominador.

l i m x → 2 + = x - 2 x 2 x - 2 = x 2 = 4

Assim, podemos concluir que como os dois limites existem a função é diferenciável no ponto.

Até a próxima!

Resposta

Sim, é diferenciável.

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