Suponha que f é uma função derivável em x 0   = 0 e que f(0) = 0. Mostre que   f ( x )   =   x g ( x ) para alguma função g que é contínua em   x 0   = 0.

Dica: O que acontece se você tentar escrever g ( x )   = f ( x ) x ?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que mostrar que, se f é uma função derivável em x 0   = 0 e que f(0) = 0, então   f ( x )   =   x g ( x ) para alguma função g que é contínua em x 0   = 0.

Vamos seguir a dica, que é escrever g ( x )   = f ( x ) x e verificar o que acontece.

Vamos lá!

Passo 2

Sendo,

g ( x )   = f ( x ) x

temos um problema em x = 0 , pois g ( x ) deve ser contínua nesse ponto. Para atender as condições f ( 0 ) = 0   e g ( x )   contínua, podemos escrever

f ( x ) = x h ( x )

pois,

g ( x )   = f ( x ) x = x h ( x ) x = h ( x )

Passo 3

Assim, mostramos que para as condições impostas

f ( x ) = x g ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .