Seja

f x = - x 2       , x < 1 1 x       ,   x ≥ 1

f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Para que a função seja diferenciável em um ponto ela tem que ser contínua nesse ponto, por isso vamos começar analisando se a função é contínua em x = 1 .

f 1 = 1 1 = 1

Agora os limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ - x 2   = - - 1 2 = 1 2

l i m x → 1 + 1 x = 1 1 = 1

Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em x = 1 . Consequentemente ela não possui derivada nesse ponto.

Resposta

N ã o .     N ã o .

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Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .