Seja f uma função diferenciável tal que f x ≤ f ( 2 ) para todo x ∈ [ 1,3 ] . Determine f ' ( 2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar f ' ( 2 ) , sabendo q f é uma função diferenciável e que f x ≤ f ( 2 ) .

Pra isso, vamos nos lembrar da definição de máximo e mínimos locais e globais. Isso porque, dada uma função f e x = c um ponto de pico de f , temos:

Se x = c for ponto de máximo, será máximo global se:

f c > f x   p a r a   t o d o   x

E será mínimo global se :

f c < f x   p a r a   t o d o   x

Vamos comparar essa definição com a nossa desigualdade e considerar máximos e mínimos locais no intervalo dado.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a definição, a gente percebe que a nossa função é menor ou igual a f ( 2 ) para todo x no intervalo [ 1,3 ] , então x = 2 é um ponto de máximo local da função, naquele intervalo.

Nós encontramos os pontos críticos da função derivando e igualando a zero, certo? Assim:

f ' x = 0

Dessa forma, encontraríamos o valor de x , mas como a gente já sabe que x = 2 é um ponto de máximo e, sendo assim, um ponto crítico da função, teremos:

f ' 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' 2 = 0

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Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .