(10) (a) Prove que se f é diferenciável em a , então f também é diferenciável em a desde que f a ≠ 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que mostrar que se temos uma função f que seja diferenciável em a , então o modulo de f também é diferenciável desde que f a ≠ 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Vamos analisar a situação e depois demonstrar com um exemplo...

Bora lá! 😉

Passo 2

Bom... temos uma função f a que é diferenciável. Se fizermos a mesma análise para f a temos que pensar um pouco mais pois o que pode acontecer é que a função pode ir a 0 e ao invés da função seguir seu caminho convencional, ela “reflete” no eixo x e volta para y positivo.

O problema é que isso pode ocorrer de forma tão brusca que f perde sua diferenciabilidade pois os limites laterais da função divergem do valor real.

Por exemplo, se tivermos uma função

f a = a

Seu modulo é dado por

f a = a

Esboçando essas funções no plano cartesiano, temos

Perceba que no ponto a = 0 a função f a não é diferenciável.

Logo, toda função f a ≠ 0 que seja diferenciável, seu módulo f a também é diferenciável.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Toda função f a ≠ 0 que seja diferenciável, seu módulo f a também é diferenci��vel

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