7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

a) f é diferenciável.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nossa tarefa é provar que a função definida por partes f x é uma função diferenciável.

Como podemos provar isso? 🤔

Para uma função ser considerada diferenciável, temos que verificar uma coisa.

Verificamos a continuidade da função através do limite de f quando x tende a 0 .

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite de f , temos que provar que f quando x ≠ 0 tende o mesmo valor para quando x = 0 . Ou seja

lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x = f 0 = 0

Aplicando o teorema do confronto, temos que cos ⁡ 1 x varia de - 1 a 1

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando x 3 em todos os lados

- x 3 ≤ x 3 cos ⁡ 1 x ≤ x 3

Calculando o limite de todos os lados, temos

lim x → 0 ⁡ - x 3 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3

Como lim x → 0 ⁡ - x 3 = lim x → 0 ⁡ x 3 = 0 , então

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x ≤ 0

lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x = 0

Com isso, vemos que f x para x ≠ 0 tende a f x para x = 0 .

Ou seja, f é contínua e diferenciável.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x = 0

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