5. Considere a função g dada por

g x = x 2 + 2 ,     x ≤ 1 a x + 1 ,     x > 1

Determine a para que g seja diferenciável em x = 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que achar a para que a função seja difereciável. Então para fazermos essa questão temos que lembrar que para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.

Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ .

f ' b - = f ' b + ≠ ± ∞

Agora bora aplicar!

Passo 2

Então, galerinha, para uma função ser diferenciavel temos que atender ao primeiro critério que é a continuidade.

E para que essa função seja continua, temos que os limites laterais sejam iguais.

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 2 = lim x → 1 + ⁡ a x + 1

Calculando o primeiro limite ficamos com

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 2 = 1 2 + 2 = 3

Para que a função seja continua, temos então que

lim x → 1 + ⁡ a x + 1 = 3

Logo,

a 1 + 1 = 3

a = 2

Ou seja, para que a função seja diferenciavel é necessário que a = 2 .

Resposta

2

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