3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par

c. f é derivável no ponto x = 2 ? Justifique.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que dizer se a função é derivável no ponto x = 2 . E para uma função ser derivável em um ponto, ela tem que ser continua naquele ponto.

Para quem não lembra, para uma função ser continua temos que

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f x

Ou seja, os limites laterias tem que ser iguais entre si e a função no ponto.

Bora lá!

Passo 2

Analisando os limites laterais em x → 2 temos que

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ≠ lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞

Repara que eles são diferentes. Além disso, a nossa função no ponto é f 2 = 0 . Ou seja, a nossa função não é continua. Logo ela não é derivável em x = 2 .

Resposta

Não é derivável, pois a função não é contínua em x = 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção ao ponto (-1,0) e então em direção a origem. Qual a diferença entre os comportamentos de f próximo a esses dois pontos? O que você
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para todo x em seu domínio, e ímpar se f - x = - f ( x ) para cada um destes x . Demonstre cada uma das afirmativas a seguirA derivada de
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t ≤ x - t 2 Calcule f ' x .
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe g definida em R , contínua em 0 , tal que f x = xg x para todo x .
Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = xg x . Mostre que f é derivável em 0 .