Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Ver Teoria

Enunciado

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( b ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( c ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Passo 1

( b ) Para resolver essa letra temos que lembrar que o limite no ponto só existe se os limites laterais existirem e forem iguais. Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita:

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 2 x - 2 ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ ( x + 1 ) - ( 1 + 1 ) x - 1 = lim x → 1 + ⁡ ( x - 1 ) x - 1 = 1

Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em 1 .

Passo 2

( c ) Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu na ( b ) ? É a definição de derivada!

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 = f ' ( 1 )

No caso, ele usou em 1 , por isso derivada em 1 . Daí surge a pergunta, a função é derivável em 1 ? Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra, a função não é diferenciável em 1 .

Resposta

b L i m i t e   n ã o   e x i s t e .

c N ã o   é   d i f e r e n c i á v e l .

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = x + x . Dê um zoom primeiro em direção
Lembre-se de que uma função f é chamada par se f - x = f ( x ) para to
Seja f : R → R uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x - f t
Suponha f definida em R , derivável em 0 e f 0 = 0 . Prove que existe