Verifique a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

a) g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Olá gente bonita, tudo certinho?

Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Isso significa que, quando ( x , y ) é diferente do ponto ( 0,0 ) ela vale:

g x , y = x 2 y x 2 + y 2  

Já quando x , y = ( 0,0 ) :

g x , y = 0

Sacou?

Enfim, o enunciado nos pede para verificar se essa função é diferenciável em ( 0,0 ) .

Vocês sabem como podemos verificar isso?

Então gente, existe mais de uma forma de verificarmos a diferenciabilidade.

Mas, quando a função é definida por partes, acho que é interessante utilizarmos o teorema mais geral para diferenciabilidade, que basicamente diz o seguinte:

Pra uma função g ( x , y ) ser diferenciável em ( x 0 , y 0 ) é necessário e suficiente que:

1 )   Existam as derivadas parciais, ∂ g / ∂ x e ∂ g / ∂ y , no ponto ( x 0 , y 0 )

2 ) O limite abaixo seja igual a zero:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ g x , y - g x 0 , y 0 - ∂ g x 0 , y 0 ∂ x ⋅ x - x 0 - ∂ g x 0 , y 0 ∂ y ⋅ y - y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Ou seja, essas duas condições precisam ser respeitadas simultaneamente. Se uma delas não for verdadeira, a função não é diferenciável naquele ponto. Beleza?

É galera...esse limite é bem feio mesmo! Mas calma, se até o sapo virou príncipe, isso daí pode ficar lindo lindo haha!

Vamos então verificar cada uma dessas condições pra descobrir se g ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 ) .

Tranquilo?

Passo 2

Pra começar, precisamos verificar se as derivadas parciais, ∂ g / ∂ x e ∂ g / ∂ y , existem no ponto ( x 0 , y 0 ) .

Alguém sabe como podemos fazer isso?

Então, em funções definidas por partes, não basta a gente fazer a derivada parcial normalmente de g ( x , y ) e depois substituir os pontos ( 0,0 ) . Pois, ( 0,0 ) é justamente o ponto em que a g ( x , y ) muda de cara.

Nesses casos, precisamos calcular pela definição, que diz o seguinte:

∂ g x 0 , y 0 ∂ x = lim x → x 0 ⁡ g x , y 0 - g x 0 , y 0 x - x 0 ∂ g x 0 , y 0 ∂ y = lim y → y 0 ⁡ g x 0 , y - g x 0 , y 0 y - y 0

Bora lá galera! Começando pela derivada parcial em relação a x em ( 0,0 ) :

∂ g 0,0 ∂ x = lim x → 0 ⁡ g x , 0 - g 0,0 x - 0

Mas, lembra que:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Então,

g x , 0 = x 2 ⋅ 0 x 2 + 0 2 = 0

E:

g 0,0 = 0

Substituindo em ∂ g 0,0 ∂ x , vem:

lim x → 0 ⁡ g x , 0 - g 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x

= 0

Portanto, ∂ g 0,0 ∂ x existe e vale zero.

Passo 3

Vamos agora calcular a derivada parcial em relação a y em ( 0,0 ) .

∂ g x 0 , y 0 ∂ y = lim y → y 0 ⁡ g x 0 , y - g x 0 , y 0 y - y 0

Em ( 0,0 ) :

∂ g 0 , 0 ∂ y = lim y → y 0 ⁡ g 0 , y - g 0 , 0 y - 0

Novamente, lembrando que:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Daí, temos:

g 0 , y = 0 2 ⋅ y 0 2 + y 2 = 0 g 0,0 = 0

Substituindo em ∂ g 0,0 ∂ y , vem:

lim y → y 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

Portanto:

∂ g 0,0 ∂ y = 0

Assim, ∂ g 0,0 ∂ y existe e vale zero.

Portanto, como ∂ g 0,0 ∂ y e ∂ g 0,0 ∂ x existem, a primeira condição foi satisfeita.

Uhuuuul! Bora mergulhar naquele limitão agora.

Passo 4

Como vimos no passo 1 , a segunda condição para a diferenciabilidade requer que:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ g x , y - g x 0 , y 0 - ∂ g x 0 , y 0 ∂ x ⋅ x - x 0 - ∂ g x 0 , y 0 ∂ y ⋅ y - y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

No ponto x 0 , y 0 = ( 0,0 ) :

lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y - g 0 , 0 - ∂ g 0 , 0 ∂ x ⋅ x - 0 - ∂ g 0 , 0 ∂ y ⋅ y - 0 x , y - 0 , 0 = 0

Vamos então calcular esse limite e verificar se realmente ele é igual a zero.

Dos passos 2 e 3 , podemos lembrar também que:

∂ g 0,0 ∂ x = 0 ∂ g 0,0 ∂ y = 0

Além disso, vimos também que g 0,0 = 0 .

Substituindo tudo isso dentro do limite, temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y - 0 - 0 ⋅ x - 0 - 0 ⋅ y - 0 x , y - 0,0

= lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y x , y  

Olha como ficou bonitoooo! Num falei pra vocês haha!

Bom, g ( x , y ) ocorre quando ( x , y ) está tendendo a ( 0,0 ) . Ou seja, ainda não valem exatamente ( 0,0 ) . Assim, lembrando que g é definida como:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Temos:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2

Além disso, x , y é a norma de ( x , y ) . Ou seja, vale:

x , y = x 2 + y 2

Substituindo isso no limite, vem:

lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y x , y = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 ⋅ 1 x 2 + y 2  

Perfeito! Nosso trabalho se resume a calcular esse limite 😊

Passo 5

Precisamos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 ⋅ 1 x 2 + y 2

= lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 3 2

O primeiro passo é substituir os valores que ( x , y ) estão tendendo dentro do limite e verificar se tem alguma impossibilidade matemática.

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 3 2 = 0 2 ⋅ 0 0 2 + 0 2 3 2 = 0 0

Isso é uma indeterminação matemática.

Vamos então analisar a relação entre os expoentes do numerador e do denominador pra termos uma noção inicial se esse limite existe ou não.

x 2 y x 2 + y 2 3 2

No numerador, o expoente máximo vale 3 ( = 1 + 2 ) . No denominador, o expoente máximo também vale 3 (é só analisar um dos termos, por exemplo, y 2 3 2 = y 3 ).

Ou seja, os expoentes máximos do numerador e denominador são iguais!

Isso nos dá um forte indício de que esse limite não deve existir, e também, se tivermos lembrando bem dos bizus, significa que é bom atacarmos o limite pelo caminho genérico:

y = m x

Substituindo dentro do limite, vamos ter:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 3 2 = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 ⋅ m x x 2 + m 2 x 2 3 2

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ m x 3 x 3 1 + m 2 3 2

Simplificando o x 3 no numerador e denominador:

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ m 1 + m 2 3 2

Olha que massa! Esse limite depende apenas do valor de m . Isso significa que se formos pelo caminho com m = 2 ou com m = 3 , obteremos resultados diferentes.

Logoo, esse limite não existe!

Ou sejaaaa, aquele limitão:

lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y - g 0,0 - ∂ g 0,0 ∂ x ⋅ x - 0 - ∂ g 0,0 ∂ y ⋅ y - 0 x , y - 0,0

Não existe. Portanto, não é igual a zero.

Assim, a segunda condição do nosso teorema para a diferenciabilidade não foi obedecido, e concluímos que g ( x , y ) não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Uhuuul! Conseguimos gente. Deu um trabalhinho, mas saiu!

Obrigado pela atenção, até a próxima 😊

Resposta

Não é diferenciável em ( 0,0 ) .

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