Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

d) se existe uma assíntota para f (quando x → + ∞ ) com coeficiente angular m e se existe lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) = L , então L = m

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

Se existe uma assíntota para f (quando x → + ∞ ) com coeficiente angular m e se existe lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) = L , então L = m

E agora, essa afirmação é verdadeira?

Quando temos uma derivada tende a um valor fixo no infinito, isso significa necessariamente que a função tem uma assíntota horizontal? E de mesmo valor?

Sabemos que uma função explode para infinito quando

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

E quando tem uma assíntota horizontal é quando olhamos para o infinito e vemos um número

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = L

Será que esse valor é o coeficiente angular da assíntota?

Será que uma coisa está relacionada com a outra?

Então a ideia é analisar funções em que isso falha! Assim podemos afirmar que é falsa!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar lembrando da condição para uma assíntota qualquer

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = m

Essa aqui é a assíntota horizontal, quando a imagem da função tende a um valor finito no infinito. E o que tem a ver com a derivada?

A derivada é justamente a inclinação da função quando olhamos para um ponto, e se temos uma assíntota, isso significa que a função tende a esse valor! Ou seja, sim, a derivada é igual ao coeficiente angular da assíntota!

Portanto essa afirmativa é verdadeira

E é isso! Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r a

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