Calcule a derivada de

y   = c o s ( x ) l n x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é calcular a derivada de y   = c o s ( x ) l n x

Vamos calcular a nossa derivada! Mas como começar? Não é claro qual regra usar. O que vocês acham? Bem, vamos fazer o seguinte vamos tomar o l o g dos dois lados da função. Então temos:

l n ( y )   = l n ( c o s ( x ) l n x )

⇒ l n ( y ) = l n ( x ) l n ( c o s ( x ) )

Dessa forma podemos usar derivação implícita.

Passo 2

Agora vamos derivar implicitamente

d d x l n ( y ) = d d x l n ( x ) l n ( c o s ( x ) )

Derivando o lado esquerdo primeiro

1 y * y ' = d d x l n ( x ) l n ( c o s ( x ) )

Usando a regra do produto

⇒ y ' y = d d x l n ( x ) * l n ( c o s ( x ) ) + l n ( x ) * d d x l n ( c o s ( x ) )

Fazendo a derivada do primeiro termo da soma

⇒ y ' y = 1 x l n ( c o s ( x ) ) + l n ( x ) * d d x l n ( c o s ( x ) )

Usando a regra da cadeia

⇒ y ' y = 1 x l n ( c o s ( x ) ) + l n ( x ) * 1 c o s ( x ) * ( - s i n ( x ) )

⇒ y ' y = l n ( c o s ( x ) ) x - l n ( x ) s i n ( x ) c o s ( x )

Estamos quase acabando, só falta passarmos o y para o outro lado

⇒ y ' = y ( l n ( c o s ( x ) ) x - l n ( x ) s i n ( x ) c o s ( x ) )

Mas pera, sabemos, do enunciado, que

y   = c o s ( x ) l n x

⇒ y ' = c o s ( x ) l n x ( l n ( c o s ( x ) ) x - l n ( x ) s i n ( x ) c o s ( x ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c o s ( x ) l n x ( l n ( c o s ( x ) ) x - l n ( x ) s i n ( x ) c o s ( x ) )

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