Determine a derivada de cada função:

(16) f x = x + 1 tan ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = x + 1 tan ⁡ x

Como temos um quociente, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Onde g ( x ) é o nosso numerador, x + 1 , e h ( x ) é o nosso denominador, tan ⁡ x . Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = x + 1 ' tan ⁡ x - x + 1 tan ⁡ x ' tan ⁡ x 2

Repare que temos uma função polinomial, x + 1 , e uma função trigonométrica, ta n ⁡ x . Na polinomial, nós podemos aplicar a regra da potência, que é essa daqui:

d d x x n = n x n - 1

E na trigonométrica, temos uma tangente, que tem sua derivada tabelada dada por:

d d x ta n ⁡ x = sec 2 ⁡ ( x )

Assim, juntando tudo na fórmula da regra do quociente, vamos ter:

f ' x = x 1 - 1 + 0 ' tan ⁡ x - x + 1 sec 2 ⁡ x ' tan 2 ⁡ x

f ' x = tan ⁡ x - x + 1 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

tan ⁡ x - x + 1 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x

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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x