Derive:

r )   f ( x ) = x s e c ( x 2 + 2 )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = x s e c ( x 2 + 2 )

Essa nossa função é composta, ou seja, ela tem a forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) . Sendo assim, podemos usar a regra da cadeia para obter sua derivada

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d g d h d h d x

Fica só a questão de identificar quem é quem! Vem comigo!

Passo 2

Podemos identificar que a nossa função f ( x ) = g ( h ( x ) ) se identificarmos que g ( h ) = h e h ( x ) = x s e c ( x 2 + 2 ) . Se aplicarmos a regra da cadeia temos então que

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = d d h [ h ] d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ]

Vamos resolver primeiro a derivada da raiz, ela pode ser resolvida pela regra do tombo

d d h [ h n ] = n h n - 1

mas para identificar é preciso lembrar que h = h 1 / 2 , e portanto, podemos escrever que

d d h [ h 1 / 2 ] = 1 2 h 1 / 2 - 1 = 1 2 h - 1 / 2

Ou seja, usando que h - 1 / 2 = 1 / h e que h = x s e c ( x 2 + 2 ) , podemos escrever

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = 1 2 x s e c ( x 2 + 2 ) d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ]

Ainda está faltando a outra derivada! Mas por conveniência vamos usar a definição da secante para reescrever ela um pouquinho! Tudo bem? Vem comigo!

Passo 3

Queremos resolver a seguinte derivada

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ]

mas nós temos que s e c ( x 2 + 2 ) = 1 / c o s ( x 2 + 2 ) , portanto a nossa derivada pode ser escrita como

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ]

temos então que nossa derivada pode ser vista como o quociente de duas funções, portanto temos que usar a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

identificando que g ( x ) = x e que h ( x ) = c o s ( x 2 + 2 ) , podemos escrever que

d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ] = d d x [ x ] c o s ( x 2 + 2 ) - x d d x [ c o s ( x 2 + 2 ) ] [ c o s ( x 2 + 2 ) ] 2

Maravilha! Temos mais duas derivadas para calcular! Vamos com calma, que uma hora chegamos lá! Bora!

Passo 4

De cara já podemos usar a regra do tombo para calcular a seguinte derivada

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

e, para a seguinte derivada

d d x [ c o s ( x 2 + 2 ) ]

é preciso usar a regra da cadeia já que temos uma função composta g ( h ( x ) ) em que g ( h ) = c o s ( h ) e h ( x ) = x 2 + 2 . Aplicando a regra da cadeia, temos

d d x [ c o s ( x 2 + 2 ) ] = d d h [ c o s ( h ) ] d d x [ x 2 + 2 ]

Vamos resolver estas novas duas derivadas! Mas tentar não esquecer o problema original, beleza? Queremos calcular a derivada que está lá em cima no enunciado! Ahahaha Vem comigo!

Passo 5

A derivada do cosseno é conhecida, temos que

d d h [ c o s ( h ) ] = - s e n ( h )

em que h = x 2 + 2 . Agora, a segunda derivada pode ser escrita como

d d x [ x 2 + 2 ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ 2 ]

lembrando que derivada de constantes são zero, e aplicando a regra do tombo, obtemos

d d x [ x 2 + 2 ] = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Com esses dois resultados, nós obtemos a seguinte derivada

d d x [ c o s ( x 2 + 2 ) ] = - 2 x   s e n ( x 2 + 2 )

Vamos utilizar isso para obter o nosso resultado original! Vem comigo!

Passo 6

Lembrando que ainda precisamos escrever a nossa regra do quociente

d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ] = d d x [ x ] c o s ( x 2 + 2 ) - x d d x [ c o s ( x 2 + 2 ) ] [ c o s ( x 2 + 2 ) ] 2

usando os resultado que obtivemos até aqui, temos que

d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ] = c o s ( x 2 + 2 ) - x ( - 2 x   s e n ( x 2 + 2 ) ) [ c o s ( x 2 + 2 ) ] 2

rearranjando os termos um pouco, temos que

d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ] = c o s ( x 2 + 2 ) + 2 x 2 s e n ( x 2 + 2 ) [ c o s ( x 2 + 2 ) ] 2

Uff… Agora é só voltar para a derivada original! Saca só!

Passo 7

Estamos tentando calcular a seguinte derivada

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = 1 2 x s e c ( x 2 + 2 ) d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = 1 2 x s e c ( x 2 + 2 ) d d x [ x c o s ( x 2 + 2 ) ]

usando o resultado obtido no último passo, temos que

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = 1 2 x s e c ( x 2 + 2 ) [ c o s ( x 2 + 2 ) + 2 x 2 s e n ( x 2 + 2 ) [ c o s ( x 2 + 2 ) ] 2 ]

Apenas para ficar bonitinho, vamos usar que s e c ( x 2 + 2 ) = 1 / c o s ( x 2 + 2 ) e reescrever que

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = [ c o s ( x 2 + 2 ) + 2 x 2 s e n ( x 2 + 2 ) ] s e c 2 ( x 2 + 2 ) 2 x s e c ( x 2 + 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x s e c ( x 2 + 2 ) ] = [ c o s ( x 2 + 2 ) + 2 x 2 s e n ( x 2 + 2 ) ] s e c 2 ( x 2 + 2 ) 2 x s e c ( x 2 + 2 )

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