Encontre a derivada das seguintes funções nos pontos dados

c ) Para h ( x ) = s e n ( x + π ) , encontre f ' ( - π ) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Neste questão temos que calcular as derivadas das funções indicadas em cada alternativa, como temos que a lista está focando na definição de derivada, vamos usar que

h ' ( x ) = l i m ϵ → 0 h ( x + ϵ ) - h ( x ) ϵ

nesta alternativa, temos que

c ) Para h ( x ) = s e n ( x + π ) , encontre f ' ( - π ) .

Vamos aplicar ent��o a definição!

Passo 2

Aplicando a nossa função a definição de derivada, temos que

h ' ( x ) = l i m ϵ → 0 s e n ( x + ϵ + π ) - s e n ( x + π ) ϵ

vamos usar a expansão

s e n ( a + b ) = s e n ( a ) c o s ( b ) + s e n ( b ) c o s ( a )

em que a = x + π e b = ϵ , de forma que obtemos

h ' ( x ) = l i m ϵ → 0 s e n ( x + π ) c o s ( ϵ ) + s e n ( ϵ ) c o s ( x + π ) - s e n ( x + π ) ϵ = l i m ϵ → 0 s e n ( x + π ) c o s ( ϵ ) - s e n ( x + π ) ϵ + c o s ( x + π ) l i m ϵ → 0 s e n ( ϵ ) ϵ

o segundo limite é resolvido usando o limite fundamental

l i m ϵ → 0 s e n ( ϵ ) ϵ = 1

Para o primeiro, ainda precisaremos simplificar um pouco! Saca só!

Passo 3

Aplicando o limite fundamental e então evidenciando o termo independente de ϵ temos que

h ' ( x ) = c o s ( x + π ) + s e n ( x + π ) l i m ϵ → 0 c o s ( ϵ ) - 1 ϵ

de forma que podemos identificar outro limite fundamental

l i m ϵ → 0 c o s ( ϵ ) - 1 ϵ = 0

portanto, nossa derivada é

h ' ( x ) = c o s ( x + π )

avaliando em x = - π , temos que

h ' ( - π ) = c o s ( - π + π ) = 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

h ' ( - π ) = 1

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