Derive:

o) y = sec ⁡ 3 x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = sec ⁡ 3 x , assim f x + h = sec ⁡ 3 ( x + h ) . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 ( x + h ) - sec ⁡ 3 x h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 ( x + h ) - sec ⁡ 3 x h = lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 ( x + h ) h - lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 ( x + h ) h

Primeiramente veja que se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x + h h = sec ⁡ 3 x 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x + h h = lim h → 0 ⁡   d d h sec ⁡ 3 x + h d d h h

E agora temos esse abacaxi aí que é derivar a secante

Bom, sabemos que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , de forma que

sec ⁡ 3 x + h = 1 cos ⁡ 3 x + h

A derivada é feita pela regra do quociente. Por que? A regra do quociente é feita quando temos uma função onde o denominados e o numerados dependem da variável de derivação. A regra do quociente é dada por:

f ( x ) g ( x ) ' = f ' g - g ' f g 2

Veja que se fizermos f h = 1 e g h = cos ⁡ 3 x + h . Mas e aí? Como que é a derivada do cosseno? Ksksks parece que derivadas de funções trigonométricas acabam nunca, né?! Lembra da derivada do cosseno? A saber:

d d x cos ⁡ x = x ' - sin ⁡ x

Onde x ' é a derivada do argumento dentro do cosseno. Assim podemos fazer:

d d h sec ⁡ 3 x + h = d d h 1 cos ⁡ 3 x + h

E conforme o que dissemos:

d d h 1 cos ⁡ 3 x + h = 0 ⋅ cos ⁡ 3 x + h - 3 ⋅ - sin ⁡ 3 x + h cos ⁡ 3 x + h 2

E vemos então que:

d d h 1 cos ⁡ 3 x + h = 3 ⋅ sin ⁡ 3 x + h cos ⁡ 3 x + h 2

E voltando ao que tínhamos:

lim h → 0 ⁡   d d h sec ⁡ 3 x + h d d h h = lim h → 0 ⁡   3 ⋅ sin ⁡ 3 x + h cos ⁡ 3 x + h 2 1

E agora sim, aplicando h = 0 :

lim h → 0 ⁡   3 ⋅ sin ⁡ 3 x + h cos ⁡ 3 x + h 2 1 = 3 sin ⁡ 3 x cos 2 ⁡ 3 x

Mas sabemos que sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x , assim e que 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

3 sin ⁡ 3 x cos 2 ⁡ 3 x = 3 tan ⁡ x sec ⁡ x

E logo concluímos que

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x + h h = 3 tan ⁡ x sec ⁡ x

E achamos o valor do nosso primeiro limite. Vamos ver o segundo?

Passo 4

Para o segundo:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h

Novamente, veja que se fizermos h = 0 dará uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h = sec ⁡ 3 x 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Assim derivando:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h = lim h → 0 ⁡   d d h sec ⁡ 3 x d d h h

mas calma, calma... Veja que sec ⁡ 3 x é constante para h , ou seja, não depende de h . E sabemos que a derivada é variação, e se não varia, significa que a derivada é nula. Concluindo:

lim h → 0 ⁡   d d h sec ⁡ 3 x d d h h = 0 1

E, portanto:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos o valor do nosso segundo limite.

Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 5

Então tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 ( x + h ) h - lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h

E achamos que:

lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x + h h - lim h → 0 ⁡   sec ⁡ 3 x h = 3 tan ⁡ x sec ⁡ x - 0

Portanto, concluímos que:

f ' x = 3 tan ⁡ x sec ⁡ x

Que é, então, a derivada da função f x = sec ⁡ 3 x

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = 3 tan ⁡ x sec ⁡ x

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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x