Calcule f ' ' , f ' ' ' ( x ) e seus respectivos domínios para f x = x 2 cos ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0 .

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tranquilo por aí?

Nessa questão vamos ter que obter as derivadas segunda e terceira da função. Temos uma função definida por partes. Note que vamos precisar derivar apenas quando x ≠ 0 , pois para x = 0 não temos continuidade.

Além disso, você deve saber que se precisamos da derivada segunda e terceira vamos ter que derivar a função três vezes, beleza?

Como a função é um produto de outras duas funções, vamos usar a regra do produto!

Da regra do produto, temos

f ' x = x 2 cos ⁡ 1 x ' = x 2 ' cos ⁡ 1 x + cos ⁡ 1 x ' ( x 2 )

Ao derivar obtemos

f ' x = 2 x cos ⁡ 1 x - sen ⁡ 1 x ( x - 1 ) ' ( x 2 )

f ' x = 2 x cos ⁡ 1 x - sen ⁡ 1 x - ( x - 2 ) ( x 2 )

Podemos agora simplificar

f ' x = 2 x cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x

Passo 2

Calculando a derivada segunda a partir da derivada primeira, temos

f ' ' x = 2 x cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x '

f ' ' x = 2 x cos ⁡ 1 x ' + sen ⁡ 1 x '

Aplicando regra da cadeia

f ' ' x = 2 x ' cos ⁡ 1 x + cos ⁡ 1 x ' 2 x + cos ⁡ 1 x - 1 x 2

O resultado da derivação é

f ' ' x = 2 cos ⁡ 1 x - 2 x sen ⁡ 1 x - 1 x 2 + cos ⁡ 1 x - 1 x 2

Reorganizando

f ' ' x = 2 cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x 1 x - cos ⁡ 1 x 1 x 2

O resultado então será

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

Passo 3

Ufaaaaa, depois de derivar esse monte ainda temos mais uma, mas vamos lá. Primeiro vamos reescrever

f ' ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x ' = cos ⁡ 1 x 2 - 1 x 2 + 2 sen ⁡ 1 x x '

Vamos então derivar cada parte separadamente

Primeira parte:

cos ⁡ 1 x 2 - 1 x 2 ' = sin ⁡ 1 x   ( 2 x 2 - 1 ) x 4 + 2 cos ⁡ 1 x   x 3

Segunda parte:

2 sen ⁡ 1 x x ' = 2 - cos ⁡ 1 x - x sen ⁡ 1 x x 4

Passo 4

Agora podemos juntar tudo, ok? Ambas as derivadas que calculamos

f ' ' ' x = sin ⁡ 1 x   ( 2 x 2 - 1 ) x 4 + 2 cos ⁡ 1 x   x 3 + 2 - cos ⁡ 1 x - x sen ⁡ 1 x x 4

Separando e reorganizando

f ' ' ' x = 2 sin ⁡ 1 x   x 2 - sen ⁡ 1 x x 4 + 2 cos ⁡ 1 x   x 3 + 2 - cos ⁡ 1 x x 3 - - x sen ⁡ 1 x x 2

Por fim

f ' ' ' x = - sin ⁡ 1 x x 4

Passo 5

Por fim, o domínio nada mais é que os valores que podem ser entrada da função, ou seja, quais valores   x pode assumir.

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

f ' ' ' x = - sin ⁡ 1 x x 4

No caso de ambas as derivadas só não podemos ter o valor zero, pois teríamos divisão por zero, beleza?

D m f ' ' x = R - { 0 }

D m ( f ' ' ' x ) = R - { 0 }

Parabéns se chegou até aqui!

Resposta

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

f ' ' ' x = - sin ⁡ 1 x x 4

D m f ' ' x = R - { 0 }

D m ( f ' ' ' x ) = R - { 0 }

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