Determine a derivada de cada função:

(17) f x = 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Como temos um quociente, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Onde g ( x ) é o nosso numerador, 3 , e h ( x ) é o nosso denominador, sin ⁡ x + cos ⁡ x . Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = 3 ' sin ⁡ x + cos ⁡ x - 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x ' sin ⁡ x + cos ⁡ x 2

Repare que temos uma função constante, g x = 3 , que vai ter sempre a derivada nula. E uma função trigonométrica dada pela soma de seno e cosseno, que têm suas derivadas tabeladas:

d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x

d d x cos ⁡ x - sin ⁡ x

Assim, juntando tudo na fórmula da regra do quociente, vamos ter:

f ' x = 0 ∙ sin ⁡ x + cos ⁡ x - 3 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) sin ⁡ x + cos ⁡ x 2

f ' x = - 3 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) sin ⁡ x + cos ⁡ x 2

A gente pode deixar dessa forma ou abrir o produto notável no denominador:

f ' x = - 3 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) ( sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x )

E usando as identidades trigonométricas, sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 e 2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ ( 2 x ) , teremos:

f ' x = - 3 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) 2 sin ⁡ ( 2 x ) + 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 3 ( cos ⁡ x - sin ⁡ x ) 2 sin ⁡ ( 2 x ) + 1

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