Encontre d n d x n   s e n h ( 2 x )

Passo 1

Oi, gente!! Tudo bem? Olha, nessa questão vamos primeiro fazer exatamente o que é pedido, derivarmos a função sen ⁡ ( 2 x ) várias vezes (n vezes), só que a ideia aqui não é derivar infinitamente, mas sim perceber que provavelmente poderemos encontrar uma forma de explicitar essa derivada n vezes quanto for necessário.

Para começar nossa vida nessa questão, vamos chamar de f x = s e n ( 2 x ) e a partir de agora, partiu derivadasss!!!

Passo 2

Fazendo a primeria derivada, vamos ter:

f ' x = 2 c o s h ⁡ ( 2 x )

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada

f ' ' x = 2 × 2 s e n h 2 x = 4 s e n h ( 2 x )

Vamos pra terceira derivada:

f ' ' ' x = 4 × 2 cosh ⁡ 2 x = 8   c o s h ( 2 x )

Para a quarta:

f ' ' ' ' x = 8 × 2 s e n h ( 2 x ) = 16 s e n h ( 2 x )

Passo 4

Ok, vamos parar de derivar aí e agora analisar.

1 – Quando a ordem da derivada é ÍMPAR, temos a função c o s h ⁡ ( 2 x ) aparecendo, e por sua vez, quando a derivada é PAR, temos o s e n h ( 2 x ) .

2 – O coeficiente que aparece na frente dessas funções trigonométricas foram 2, 4, 8, 16, ..., note que isso é a mesma coisa que escrever 2 n , onde n é a ordem da derivada.

Passo 5

Com as observações dadas no passo 4, podemos escrever que:

d n d x n s e n h ( 2 x ) = 2 n cosh ⁡ 2 x ,   n = í m p a r 2 n s e n h 2 x ,   n = p a r

Resposta

d n d x n s e n h ( 2 x ) = 2 n cosh ⁡ 2 x ,   n = í m p a r 2 n s e n h 2 x ,   n = p a r

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