Determine a derivada de cada função:

(15) f x = x 2 tan ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = x 2 tan ⁡ x

Como a gente tem um produto de funções, nada mais justo que usar a regra do produto na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

h x ∙ g ( x ) ' = h ' x ∙ g x + h x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, h x = x 2 e g x = ta n ⁡ x . Então, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = x 2 ' ta n ⁡ x + x 2 ta n ⁡ x '

Repare que temos uma função polinomial, x 2 , e uma função trigonométrica, ta n ⁡ x . Na polinomial, nós podemos aplicar a regra da potência, que é essa daqui:

d d x x n = n x n - 1

E na trigonométrica, temos uma tangente, que tem sua derivada tabelada dada por:

d d x ta n ⁡ x = sec 2 ⁡ ( x )

Assim, juntando tudo na fórmula da regra do produto, vamos ter:

f ' x = 2 x 2 - 1 ∙ tan ⁡ x + x 2 ∙ ( sec 2 ⁡ x )

f ' x = 2 x tan ⁡ x + x 2 sec 2 ⁡ x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 x tan ⁡ x + x 2 sec 2 ⁡ x

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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x