Determine a derivada de cada função:

(18) f x = sec ⁡ x 3 x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = sec ⁡ x 3 x + 2

Como temos um quociente, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Onde g ( x ) é o nosso numerador, sec ⁡ x , e h ( x ) é o nosso denominador, 3 x + 2 . Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = sec ⁡ x ' 3 x + 2 - sec ⁡ x 3 x + 2 ' ( 3 x + 2 ) 2

Repare que temos uma função trigonométrica, g x = tan ⁡ x e uma função polinomial, h x = 3 x + 2 . Na polinomial, nós podemos aplicar a regra da potência, que é essa daqui:

d d x x n = n x n - 1

E na trigonométrica, temos uma secante, que tem sua derivada tabelada dada por:

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ ( x ) tan ⁡ x

Assim, juntando tudo na fórmula da regra do quociente, vamos ter:

f ' x = ( sec ⁡ x tan ⁡ x ) 3 x + 2 - sec ⁡ x ( 3 x 1 - 1 + 0 ) ( 3 x + 2 ) 2

f ' x = ( 3 x + 2 ) sec ⁡ x tan ⁡ x - 3 sec ⁡ x 9 x 2 + 12 x + 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( 3 x + 2 ) sec ⁡ x tan ⁡ x - 3 sec ⁡ x 9 x 2 + 12 x + 4

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x