Determine a derivada de cada função:

(19) cos ⁡ x + x 2 + 1 sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = cos ⁡ x + x 2 + 1 sin ⁡ x

Repare que nós temos uma soma de funções e, pelas propriedades das derivadas, a derivada da soma é igual a soma das derivadas. Isso quer dizer que vamos ter que derivar termo a termo.

Agora observe que no segundo termo, x 2 + 1 sin ⁡ x , nós temos um produto de funções. E quando temos um produto, claro que nós usamos a regrinha do produto, que é essa aqui:

h x ∙ g ( x ) ' = h ' x ∙ g x + h x ∙ g ' ( x )

No nosso caso, h x = x 2 + 1 e g x = sin ⁡ x . Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = cos ⁡ x ' + x 2 + 1 sin ⁡ x '

O cosseno é uma função trigonométrica que tem sua derivada dada por:

cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x

No segundo termo, vamos aplicar a regra do produto. Vai ficar assim:

x 2 + 1 sin ⁡ x ' = x 2 + 1 ' sin ⁡ x + x 2 + 1 sin ⁡ x '

x 2 + 1 sin ⁡ x ' = 2 x sin ⁡ x + x 2 + 1 cos ⁡ x

Então, juntando tudo, a derivada da nossa função será:

f ' x = - sin ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + x 2 + 1 cos ⁡ x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- sin ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + x 2 + 1 cos ⁡ x

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x