Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:

i )   f ( x ) = 2   c o s ( x ) + 3 x 2 + 1 3 j )   f ( x ) = x e x / 2 + x l n ( x 2 + 1 )

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá duas funções

i )   f ( x ) = 2   c o s ( x ) + 3 x 2 + 1 3 j )   f ( x ) = x e x / 2 + x l n ( x 2 + 1 )

precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada de

f ( x ) = 2   c o s ( x ) + 3 x 2 + 1 3

a primeira derivada será dividida em dois termos da forma

d d x [ f ( x ) ] = 2 d d x [ c o s ( x ) ] + 3 d d x [ x 2 + 1 3 ]

a primeira derivada é conhecida e toma a forma

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

Para a segunda derivada vamos reescrever um pouquinho a função usando que x 2 + 1 3 = ( x 2 + 1 ) 1 / 3 . Portanto, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 2 ( - s e n ( x ) ) + 3 d d x [ ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ] = - 2 s e n ( x ) + 3 d d x [ ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ]

Para a segunda derivada vamos relembrar a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 3

A regra da cadeia é usada para funções compostas da forma g ( x ) = h ( i ( x ) ) , de forma que

d d x [ g ( x ) ] = d d x [ h ( i ( x ) ) ] = d   h ( i ) d i d   i ( x ) d x

temos que calcular

d d x [ ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ]

identificando que h ( i ) = i 1 / 3 e i ( x ) = x 2 + 1 , podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

para escrever que

d d x [ ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ] = d   [ i 1 / 3 ] d i d   [ x 2 + 1 ] d x = [ 1 3 i 1 / 3 - 1 ] [ 2 x 2 - 1 + 0 ]

ou, resumindo, temos que

d d x [ ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ] = 2 x 3 ( x 2 + 1 ) - 2 / 3

A derivada é dada então por

d d x [ f ( x ) ] = - 2   s e n ( x ) + 3 ( 2 x 3 ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ) = 2 x ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - 2   s e n ( x )

Vamos calcular a segunda derivada agora!

Passo 4

A segunda derivada é a derivada do resultado que acabamos de obter, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2 d d x [ x ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] - 2 d d x [ s e n ( x ) ]

O segundo termo já é conhecido, temos que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

agora, o primeiro termo irá precisar da regra do quociente! Vamos lá!

Uma vez que temos uma função forma f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) , podemos derivar essa relação usando a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

identificando que g ( x ) = x e h ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 / 3 , temos que

d d x [ x ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] = d d x [ x ] ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - x d d x [ ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] [ ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] 2 = d d x [ x ] ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - x d d x [ ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] ( x 2 + 1 ) 4 / 3

A primeira derivada acima é obtida pela regra do tombo como

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

Para a segunda derivada iremos precisar da regra da cadeia, mas agora temos que h ( i ) = i 2 / 3 e h ( x ) = x 2 + 1 , portanto

d d x [ ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] = d d i [ i 2 / 3 ] d d x [ x 2 + 1 ] = [ 2 3 i 2 / 3 - 1 ] [ 2 x 2 - 1 + 0 ]

ou, resumidamente, temos que

d d x [ ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] = [ 4 x 3 i - 1 / 3 ] = 4 x 3 ( x 2 + 1 ) 1 / 3

Sendo assim, temos que

d d x [ x ( x 2 + 1 ) 2 / 3 ] = ( 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - x [ 4 x 3 ( x 2 + 1 ) 1 / 3 ] ( x 2 + 1 ) 4 / 3 = 1 ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - 4 x 2 3 ( x 2 + 1 ) 5 / 3

E, a nossa segunda derivada será simplesmente

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2 ( 1 ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - 4 x 2 3 ( x 2 + 1 ) 5 / 3 ) - 2 ( c o s ( x ) ) = 2 ( x 2 + 1 ) 2 / 3 [ 1 - 4 x 2 3 ( x 2 + 1 ) ] - 2   c o s ( x )

Maravilha! Uma já foi! Vamos resolver a outra agora!

Passo 5

Temos que calcular agora a derivada da função

  f ( x ) = x e x / 2 + x l n ( x 2 + 1 )

a derivada tem então a forma

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ x e x / 2 ] + d d x [ x   l n ( x 2 + 1 ) ]

Temos aqui duas derivadas pela regra do produto! Vamos começar com a mais simples! Temos que calcular

d d x [ x e x / 2 ]

temos que a função acima é definida tal que g ( x ) = h ( x ) i ( x ) , em que h ( x ) = x e i ( x ) = e x / 2 , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma

d d x [ g ( x ) ] = d d x [ h ( x ) i ( x ) ] = d d x [ h ( x ) ] i ( x ) + h ( x ) d d x [ i ( x ) ]

Temos que

d d x [ x ] = 1

em que usei a regra do tombo! A segunda derivada que precisamos é conhecida da forma

d d x [ e a x ] = a e a x

temos que nossa derivada tem então a forma

d d x [ x e x / 2 ] = ( 1 ) e x / 2 + x ( 1 2 e x / 2 ) = ( x + 2 ) e x / 2 2

Ainda precisamos calcular o segundo termo! Mas ele é um pouco mais complicado! Vamos seguir para o próximo passo!

Passo 6

Temos que calcular a seguinte derivada

d d x [ x   l n ( x 2 + 1 ) ]

pela regra do produto podemos expandir essa derivada como

d d x [ x   l n ( x 2 + 1 ) ] = d d x [ x ]   l n ( x 2 + 1 ) + x d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

a primeira derivada já fizemos algumas vezes, o segundo termo irá precisar da regra da cadeia, identificando que h ( i ) = l n ( i ) e i ( x ) = x 2 + 1 , temos que

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = d d i [ l n ( i ) ] d d x [ x 2 + 1 ]

usando que

d d i [ l n ( i ) ] = 1 i

e, usando a regra do tombo, temos que

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = [ 1 i ] [ 2 x 2 - 1 + 0 ] = 2 x x 2 + 1

Temos então que a derivada do segundo termo é tal que

d d x [ x   l n ( x 2 + 1 ) ] = ( 1 )   l n ( x 2 + 1 ) + x   ( 2 x x 2 + 1 ) = 2 x 2 x 2 + 1 + l n ( x 2 + 1 )

e, a nossa primeira derivada é dada por

d d x [ f ( x ) ] = ( x + 2 ) e x / 2 2 + 2 x 2 x 2 + 1 + l n ( x 2 + 1 )

Vamos calcular agora a segunda derivada! Saca só!

Passo 7

Por sorte, já calculamos boa parte das derivadas que serão necessárias, podemos escrever a primeira derivada como

d d x [ f ( x ) ] = x 2 e x / 2 + e x / 2 + 2 x 2 x 2 + 1 + l n ( x 2 + 1 )

a segunda derivada será

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 1 2 d d x [ x e x / 2 ] + d d x [ e x / 2 ] + 2 d d x [ x 2 x 2 + 1 ] + d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

substituindo os resultados que já calculamos anteriormente, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 1 4 ( x + 2 ) e x / 2 + 1 2 e x / 2 + 2 d d x [ x 2 x 2 + 1 ] + 2 x x 2 + 1

Precisamos apenas aplicar a regra do quociente no terceiro termo acima! Usando a fórmula da regra do quociente para h ( x ) = x 2 e i ( x ) = x 2 + 1 , temos que

d d x [ x 2 x 2 + 1 ] = d d x [ x 2 ] ( x 2 + 1 ) - x 2 d d x [ x 2 + 1 ] ( x 2 + 1 ) 2 = 2 x ( x 2 + 1 ) - x 2 ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2

ou, simplificando, temos que

d d x [ x 2 x 2 + 1 ] = 2 x ( x 2 + 1 ) 2

A segunda derivada tem então a seguinte forma

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 1 4 ( x + 2 ) e x / 2 + 1 2 e x / 2 + 4 x ( x 2 + 1 ) 2 + 2 x x 2 + 1

evidenciando alguns termos, temos que

d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 1 4 ( x + 4 ) e x / 2 + 2 x x 2 + 1 [ 2 ( x 2 + 1 ) + 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau|

Resposta

i ) d d x [ f ( x ) ] = 2 x ( x 2 + 1 ) 2 / 3 - 2   s e n ( x ) e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 2 ( x 2 + 1 ) 2 / 3 [ 1 - 4 x 2 3 ( x 2 + 1 ) ] - 2   c o s ( x )

j ) d d x [ f ( x ) ] = ( x + 2 ) e x / 2 2 + 2 x 2 x 2 + 1 + l n ( x 2 + 1 ) e d 2 d x 2 [ f ( x ) ] = 1 4 ( x + 4 ) e x / 2 + 2 x x 2 + 1 [ 2 ( x 2 + 1 ) + 1 ]

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