Derive:

h )   y = x 3   t g ( 4 x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = x 3   t g ( 4 x )

Para fazer isso, vamos utilizar a regra do produto, juntamente com a regra do tombo e algumas derivadas conhecidas! Temos também que utilizar algumas propriedades da derivada que provém da regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

em que f ( x ) = x 3 e g ( x ) = t g ( 4 x ) . Ou seja, podemos escrever nossa derivada como

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = d d x [ x 3 ] t g ( 4 x ) + x 3 d d x [ t g ( 4 x ) ]

Agora nosso problema se reduziu a calcular duas derivadas relativamente mais simples do que a derivada original! Para a do primeiro termo usaremos a regra do tombo, e a segunda é uma derivada conhecida, mas precisamos tomar um certo cuidado! Bora lá?

Passo 3

Pela regra do tombo temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

se tomarmos que n = 3 , obtemos que

d d x [ x 3 ] = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Essa é a primeira derivada! Agora temos que calcular a segunda! Lembra como fazemos isso? Saca só!

Passo 4

Vamos lembrar a seguinte propriedade

d d x [ f ( c x ) ] = c d d ( c x ) f ( c x )

Ou seja, podemos simplesmente tirar constantes para fora da derivada, isso faz com que tenhamos que

d d x [ t g ( 4 x ) ] = 4 d d ( 4 x ) [ t g ( 4 x ) ]

A derivada de tangente pode ser demonstrada utilizando de identidades trigonométricas e a regra do quociente, esta é uma questão desta mesma lista de exercícios e a demonstração dela está no site! Aqui vamos utilizar como um resultado conhecido! Vem comigo!

Passo 5

Lembrando que

d d ( 4 x ) [ t g ( 4 x ) ] = s e c 2 ( 4 x )

Podemos finalmente escrever que

d d x [ t g ( 4 x ) ] = 4   s e c 2 ( 4 x )

Ótimo! Agora temos todas as derivadas que precisávamos calcular! Se utilizarmos isso para escrever nossa derivada original, temos que

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = d d x [ x 3 ] t g ( 4 x ) + x 3 d d x [ t g ( 4 x ) ] = [ 3 x 2 ] t g ( 4 x ) + x 3 [ 4 s e c 2 ( 4 x ) ]

Ou, se organizarmos os termos um pouquinho, obtemos

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = 3 x 2 t g ( 4 x ) + 4 x 3 s e c 2 ( 4 x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = 3 x 2 t g ( 4 x ) + 4 x 3 s e c 2 ( 4 x )

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x