3. Existe algum valor de b que torne

g x = { x + b ,   s e   x < 0   c o s c o s   x ,   s e   x ≥ 0    

Contínua em x = 0 ? E derivável em x = 0 ? Justifique suas respostas.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos começar verificando em que ponto b a nossa g x será contínua.

Para isso, temos que reparar que o ponto x = 0 é um ponto onde a função muda de comportamento. Então para que essa função seja contínua temos que os limites laterais naquele ponto sejam iguais. Ou seja,

g x   = g x  

Então vamos verificar essa igualdade e encontrar b .

Passo 2

Repara que valores menores que 0 , a função tem o comportamento de x + b . Então o nosso limite de x → 0 - . Fica assim:

x + b   = 0 + b = b

Agora, para valores maiores de 0 , a função tem a cara de c o s c o s   x   . Então:

c o s c o s   x     = c o s c o s   0   = 1

Como tínhamos que,

g x   = g x  

b = 1

Logo, para b = 1 , f é continua em x = 0 .

Passo 3

Agora vamos ver se a função é derivável. Para isso temos que lembrar que, funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.

Mas acabamos de ver que para b = 1 , a função for contínua. Sendo assim, ela pode ou não ser diferenciável. Então, precisamos usar outro critério para avaliar.

O outro critério será que ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ . Ou seja, no nosso ponto x = 0 , a função é diferenciável se:

f ' 0 - = f 0 + ≠ ± ∞

Então bora calcular essas derivadas no ponto!

Passo 4

Para x < 0 , vimos que a função tem a cara de x + b . Então derivando,

g x = x + b

g ' x = 1

Fazendo a derivada no ponto, ficamos com

g ' 0 - = 1

Agora vamos para x > 0 , onde a função assume a cara de c o s c o s   x  

g x = c o s c o s   x  

g ' x = - s i n s i n   x  

Fazendo a derivada no ponto, ficamos com

g ' 0 + = - s i n s i n   0   = 0

Opaaa, acabamos de ver que

f ' 0 - ≠ f 0 +

Logo, a função não é diferenciável em x = 0 , independente de qualquer b .

Resposta

  • Para b = 1 , f é contínua em x = 0 .
  • Não existe nenhum b , onde f é diferenciável em x = 0 .

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