Derive:

q )   f ( x ) = x 3 t g ( 4 x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = x 3 t g ( 4 x )

Note que este é um produto de funções da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , portanto, a sua derivada pode ser obtida pela regra do produto

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

Só precisamos identificar quem são as nossas funções e aplicar a fórmula acima! Bastante direto não é? Tenta aí! E vem checar o resultado comigo!

Passo 2

Aplicando a regra do produto em nosso problema temos que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = d d x [ x 3 ] t g ( 4 x ) + x 3 d d x [ t g ( 4 x ) ]

Precisamos então resolver as duas derivadas mais simples que restaram! A primeira pode ser resolvida usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

e, portanto, obtemos que

d d x [ x 3 ] = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Agora falta apenas a segunda derivada! Ela é uma derivada bastante conhecida, e pode ser obtida utilizando a definição da tangente em termos de senos e cossenos e a regra do quociente, como o exercício é voltada em aplicar as regras de derivação e não tanto em demonstrar todas as derivadas conhecidas, deixo para você dar uma olhada no site por esta demonstração se não acreditar em mim! Belezinha? Bora terminar este problema!

Passo 3

Temos que a derivada da tangente é conhecida como

d d x [ t g ( a x ) ] = a   s e c 2 ( a x )

temos que a = 4 , portanto

d d x [ t g ( 4 x ) ] = 4   s e c 2 ( 4 x )

Substituindo ambos os resultados em nossa derivada original, temos que

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = ( 3 x 2 ) t g ( 4 x ) + x 3 ( 4   s e c 2 ( 4 x ) )

rearranjando alguns termos, temos que

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = 3 x 2 t g ( 4 x ) + 4 x 3   s e c 2 ( 4 x )

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x 3 t g ( 4 x ) ] = 3 x 2 t g ( 4 x ) + 4 x 3   s e c 2 ( 4 x )

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x